Legge di Faraday

La legge di Faraday è una legge fisica che descrive il fenomeno dell'induzione elettromagnetica, il quale si verifica quando il flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata da un circuito elettrico è variabile nel tempo. La legge impone che nel circuito si generi una forza elettromotrice indotta pari all'opposto della variazione temporale del flusso.

Il fenomeno dell'induzione elettromagnetica è stato scoperto e codificato in legge nel 1831 dal fisico inglese Michael Faraday ed è attualmente alla base del funzionamento di numerosi apparati elettrici, come motori, alternatori, generatori, trasformatori. Assieme alla legge di Ampère-Maxwell, a essa potenzialmente simmetrica, correla i fenomeni elettrici con quelli magnetici nel caso non stazionario: entrambe sono il punto di forza del passaggio dalle equazioni di Maxwell al campo elettromagnetico.

La legge prende anche il nome di legge dell'induzione elettromagnetica, legge di Faraday-Henry o legge di Faraday-Neumann o anche legge di Faraday-Neumann-Lenz per il fatto che la legge di Lenz è un suo corollario.^[2]

La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice ${\displaystyle f_{em}}$ indotta da un campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {B} }$ in una linea chiusa ${\displaystyle \partial \Sigma }$ è pari all'opposto della variazione nell'unità di tempo del flusso magnetico ${\displaystyle \Phi _{\Sigma }(\mathbf {B} )}$ del campo attraverso la superficie ${\displaystyle \Sigma (t)}$ che ha quella linea come frontiera:^[3]

${\displaystyle f_{em}=-{\partial \Phi _{\Sigma }(\mathbf {B} ) \over \partial t}}$

dove il flusso magnetico è dato dall'integrale di superficie:

${\displaystyle \Phi _{\Sigma }=\int \limits _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} }$

con ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ elemento dell'area ${\displaystyle \Sigma }$ attraverso la quale viene calcolato il flusso. La forza elettromotrice è definita mediante il lavoro svolto dal campo elettrico per unità di carica ${\displaystyle q}$ del circuito:

${\displaystyle f_{em}={\frac {1}{q}}\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

dove ${\displaystyle \partial \Sigma }$ è il bordo di ${\displaystyle \Sigma }$ e:

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

è la forza di Lorentz. In caso di circuito stazionario, il termine funzione del campo induzione magnetica e della velocità scompare, e l'integrale assume la forma:^[4]

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{\partial \Phi _{\Sigma }(\mathbf {B} ) \over \partial t}}$

Il segno meno sta ad indicare che la corrente prodotta si oppone alla variazione del flusso magnetico, compatibilmente con il principio di conservazione dell'energia: in altri termini, se il flusso concatenato è in diminuzione, il campo magnetico generato dalla corrente indotta sosterrà il campo originario opponendosi alla diminuzione, mentre se il flusso sta crescendo, il campo magnetico prodotto contrasterà l'originario, opponendosi all'aumento. Questo fenomeno è noto anche come legge di Lenz.^[5]

Il fenomeno è perfettamente coerente se riferito a circuiti non deformabili, per i quali la variazione di flusso è unicamente legata alla variazione temporale del campo magnetico stesso. Nel caso vi sia un movimento relativo fra circuito e campo è possibile un approccio tramite la circuitazione indotta dalla forza di Lorentz, dovuta alle cariche del circuito in moto all'interno di un campo magnetico. Si può dimostrare infatti che il primo approccio e il secondo sono equivalenti.

La forma locale (o differenziale) della legge di Faraday è legata alla forma globale dal teorema del rotore:^[6]

${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \operatorname {d} \mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {s} }$

Per la definizione di flusso magnetico, e poiché il dominio di integrazione è supposto costante nel tempo, si ha:

${\displaystyle -{\partial \Phi _{S}(\mathbf {B} ) \over \partial t}=-{\partial \over \partial t}\int _{S}\mathbf {B} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {s} =\int _{S}-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\mbox{d}}\mathbf {s} }$

Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:^[7]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Analogamente agli altri fenomeni che caratterizzano la trattazione classica dell'elettromagnetismo, anche la legge di Faraday può essere derivata a partire dalle equazioni di Maxwell e dalla forza di Lorentz.^[8]

Si consideri la derivata temporale del flusso attraverso una spira di area ${\displaystyle S(t)}$ (che può essere in moto):

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S(t)}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {r^{2}} }$

Il risultato dell'integrale dipende sia dal valore dell'integrando, sia dalla regione in cui viene calcolato, per cui:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}=\int _{S(t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {r^{2}} +{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S(t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {r^{2}} }$

dove ${\displaystyle t_{0}}$ è un tempo fissato. Il primo termine nel membro di destra può essere scritto utilizzando l'equazione di Maxwell–Faraday:

${\displaystyle \int _{S(t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot \operatorname {d} \mathbf {r^{2}} =-\oint _{\partial S(t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot \operatorname {d} r}$

mentre per il secondo termine:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S(t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot \operatorname {d} \mathbf {r^{2}} }$

vi sono diversi approcci possibili.^[9] Se la spira si muove o si deforma causa una variazione del flusso del campo magnetico attraverso di essa: dato un piccolo tratto ${\displaystyle \operatorname {d} r}$ della spira in moto con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ per un tempo ${\displaystyle dt}$, esso "spazza" una superficie di area ${\displaystyle d\mathbf {r^{2}} =\mathbf {v} \,dt\times \operatorname {d} r}$. Pertanto la rispettiva variazione di flusso è:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} \,dt\times \operatorname {d} r)=-dt\,\operatorname {d} r\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

Quindi si ha:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S(t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {r^{2}} =-\oint _{\partial S(t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot \operatorname {d} r}$

dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è la velocità di un punto sulla spira ${\displaystyle \partial S}$.

Unendo i risultati:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}=-\oint _{\partial S(t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot \operatorname {d} r-\oint _{\partial S(t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot \operatorname {d} r}$

La forza elettromotrice ${\displaystyle f_{em}}$ è definita come l'energia per unità di carica necessaria per compiere un giro completo della spira. Utilizzando la forza di Lorentz essa è pari a:

${\displaystyle f_{em}=\oint (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\operatorname {d} r}$

da cui:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{B}}{\partial t}}=-f_{em}}$

La legge di Faraday descrive il manifestarsi di due fenomeni distinti: la forza elettromotrice dovuta alla forza di Lorentz che si manifesta a causa del moto di una spira in un campo magnetico, e la forza elettromotrice causata dal campo elettrico generato dalla variazione di flusso del campo magnetico, in accordo con le equazioni di Maxwell.^[10]

Richard Feynman così descrive la particolarità di tale principio:^[11]

Questa apparente dicotomia fu una delle ispirazioni che portarono Einstein a sviluppare la relatività ristretta. Egli scrisse:^[12]

• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• (EN) Frederick W. Grover, Inductance Calculations, Dover Publications, 1952.
• (EN) David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3ª ed., Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X.
• (EN) Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2ª ed., Wiley, 1986, ISBN 0-471-81186-6.
• (EN) Edward Hughes, Electrical & Electronic Technology, 8ª ed., Prentice Hall, 2002, ISBN 0-582-40519-X.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica - Volume II, 2ª ed., EdiSES, ISBN 88-7959-152-5.
• (DE) K. Küpfmüller, Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• (EN) Oliver Heaviside, Electrical Papers, 1. – L., N.Y., Macmillan, 1892, pp. 429-560.
• (EN) Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.), W. H. Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6.
• (EN) Raymond Serway e John Jewett, Physics for Scientists and Engineers (6 ed.), Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7.
• (EN) Wayne M. Saslow, Electricity, Magnetism, and Light, Thomson Learning, 2002, ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.

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• (EN) Faraday’s law of induction, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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