Discussione:Variabile casuale

Se

${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ sono variabili casuali Bernoulliane uguali e indipendenti

allora

${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$, è anch'essa una variabile casuale binomiale ${\displaystyle B(n,p)}$

Se

${\displaystyle X}$ è una variabile casuale binomiale ${\displaystyle B(n,p)}$ con ${\displaystyle n}$ molto grande (orientativamente più di 50) e ${\displaystyle p}$ molto piccolo, tale che ${\displaystyle np}$ è, orientativamente, minore di 10 e ${\displaystyle p(1-p)}$ quasi uguale a ${\displaystyle p}$,

allora

può essere approssimata con una variabile casuale poissoniana ove ${\displaystyle \lambda =np}$.

Se

${\displaystyle X}$ è una variabile casuale binomiale ${\displaystyle B(n,p)}$ con ${\displaystyle n}$ molto grande, ma ${\displaystyle np>10}$10}"/> (e dunque non vale l'approssimazione con la poissoniana),

allora

può essere approssimata con una variabile casuale normale con valore atteso pari a ${\displaystyle np}$ e varianza uguale a ${\displaystyle npq}$: ${\displaystyle N(np,npq)}$

Se

${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una variabile casuale poissoniana con parametro rispettivamente ${\displaystyle \lambda _{X}}$ e ${\displaystyle \lambda _{Y}}$

allora

${\displaystyle Z=X+Y}$ è a sua volta una variabile casuale Poissoniana con parametro ${\displaystyle \lambda _{Z}=\lambda _{X}+\lambda _{Y}}$

Se

${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabile casuale Gamma in senso stretto (${\displaystyle a=1}$) con il parametro ${\displaystyle p}$ uguale rispettivamente a ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$

allora

${\displaystyle Z=X/Y}$ è distribuita come una variabile casuale Beta con i parametri ${\displaystyle p=n}$ e ${\displaystyle q=m}$

Se

${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabile casuale identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale esponenziale negativa con parametro ${\displaystyle a}$

allora

${\displaystyle Z=X+Y}$ è una variabile casuale Gamma con parametri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle p=2}$

La variabile casuale esponenziale negativa viene usata in relazione alla variabile casuale poissoniana in quanto:

se

il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una poissoniana (con parametro ${\displaystyle \lambda }$),

allora

l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una esponenziale negativa con ${\displaystyle a=\lambda }$;

e viceversa.

Se

${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ sono ${\displaystyle n}$ variabili casuali ${\displaystyle \chi ^{2}}$ tra di loro indipendenti, ciascuna con ${\displaystyle g_{i}}$ gradi di libertà,

allora

la variabile casuale ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$ è a sua volta una variabile casuale ${\displaystyle \chi ^{2}}$ con ${\displaystyle g}$ gradi di libertà, ove ${\displaystyle g=g_{1}+g_{2}+...+g_{n}}$

Se

${\displaystyle Z}$ è una variabile casuale normale standardizzata ${\displaystyle N(0,1)}$, e ${\displaystyle X=Z^{2}}$

allora

${\displaystyle X}$ è una variabile casuale ${\displaystyle \chi ^{2}}$ con 1 grado di libertà.

Considerato un campione di ${\displaystyle n}$ elementi estratto da una popolazione normale ${\displaystyle Z(\mu ,\sigma ^{2})}$ indicando con ${\displaystyle S^{2}}$ la distribuzione della varianza campionaria sarà:

${\displaystyle nS^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

Se

${\displaystyle X}$ è una variabile casuale t di Student e ${\displaystyle g\to \infty }$

allora

${\displaystyle X}$ tende ad una variabile casuale normale standardizzata (${\displaystyle \mu =0}$ e ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$)

Se

${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$ e ${\displaystyle X\sim \chi _{g}^{2}}$,

allora

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {X/g}}}}$ è distribuita come una variabile casuale t di Student con ${\displaystyle g}$ gradi di libertà.

variabile casuale F di Snedecor:

Se

il secondo grado di libertà è molto grande,

allora

la F di Snedecor tende verso una variabile casuale Gamma con ${\displaystyle a=p=g/2}$

Se

entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,

allora

si può usare la normale

Se

il primo grado di libertà è pari ad 1,

allora

si può usare la variabile casuale t di Student

Se

${\displaystyle X_{g_{1}}}$ e ${\displaystyle X_{g_{2}}}$ sono variabili casuali Chi Quadrato con rispettivamente ${\displaystyle g_{1}}$ e ${\displaystyle g_{2}}$ gradi di libertà

allora

${\displaystyle {\frac {X_{g_{1}}/g_{1}}{X_{g_{2}}/g_{2}}}}$ è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con ${\displaystyle g_{1}}$ e ${\displaystyle g_{2}}$ gradi di liberta;

Se

in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali ${\displaystyle P_{n}(0)=1}$ per ${\displaystyle n=0}$ e 0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante ${\displaystyle \lambda }$;

allora

si ottiene la soluzione ${\displaystyle P_{n}(t)=e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!}$, ovvero una variabile casuale poissoniana con parametro ${\displaystyle \lambda t}$