Chiusura (matematica)

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In matematica, la chiusura di un insieme è in generale il più piccolo oggetto che contemporaneamente contiene quello iniziale e soddisfa una data proprietà.

Lo stesso argomento in dettaglio: Chiusura (topologia).

In topologia, la chiusura di un insieme S è in parole povere l'insieme di tutti i punti di aderenza per S. La chiusura di S è talvolta definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono S, o come il più piccolo insieme chiuso contenente S.

Consideriamo un insieme di proprietà ${\displaystyle P}$ di cui le relazioni binarie possono godere e sia ${\displaystyle R\subseteq A\times A}$ una relazione binaria su ${\displaystyle A}$.
Chiamiamo chiusura di ${\displaystyle R}$ rispetto a ${\displaystyle P}$ o ${\displaystyle P-chiusura}$ di ${\displaystyle R}$ una relazione ${\displaystyle M\subseteq A\times A}$ tale che:

1. ${\displaystyle R\subseteq M}$;
2. ${\displaystyle M}$ soddisfa tutte le proprietà contenute in ${\displaystyle P}$;
3. se ${\displaystyle T\subseteq A\times A}$ è una relazione che soddisfa tutte le proprietà contenute in ${\displaystyle P}$ e che contiene ${\displaystyle R}$, allora deve valere che ${\displaystyle M\subseteq T}$.

Questo significa che se esiste la relazione ${\displaystyle M}$ essa è la minima relazione che contiene ${\displaystyle R}$ e possiede tutte le proprietà contenute in ${\displaystyle P}$.^[1]

Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà di chiusura.

Il termine chiusura si incontra anche lavorando con gli insiemi numerici e le usuali operazioni. In breve, si può dire che un insieme è chiuso rispetto ad un'operazione se comunque si prendono due elementi di quell'insieme e si esegue l'operazione stabilita, il risultato di tale operazione appartiene ancora all'insieme stesso; insomma, eseguendo l'operazione non si esce dall'insieme.

Ad esempio, detto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ l'insieme dei numeri naturali, si nota che è chiuso rispetto all'operazione di addizione; infatti ${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {N} .(n+m)\in \mathbb {N} }$.

• Alessandra Cherubini, Stefania Adami, Luca Mauri, Claudia Nuccio, Achille Frigeri, Appunti di Logica e Algebra con esercizi, Maggioli Editore, 2014, ISBN 978-88-916-0076-9.

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