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Lo '''spazio di stato''' (o '''spazio degli stati''') è l'insieme di tutte le possibili configurazioni di un [[Sistema (fisica)|sistema fisico]].<ref>{{Cita web|url=https://mathinsight.org/definition/state_space|titolo=State space definition}}</ref> Ci sono diversi tipi di spazi degli stati: in [[meccanica classica]] si usano lo spazio delle configurazioni e lo spazio delle fasi, mentre in [[meccanica quantistica]] lo spazio degli stati è rappresentato da uno [[spazio di Hilbert]] complesso.

== Spazio delle configurazioni ==
Dato un sistema dinamico con <math>n</math> gradi di libertà, lo [[spazio vettoriale]] generato dalle [[coordinate generalizzate]] <math>q_i,\ i=1,\dots,n</math> è detto ''spazio delle configurazioni'', all'interno del quale sono determinate univocamente tutte le posizioni (ma non le velocità) di un sistema di punti. In [[meccanica razionale]], per spazio delle configurazioni si intende solitamente una [[varietà differenziabile]] nello spazio delle coordinate generalizzate, detta ''varietà delle configurazioni''.

== Spazio delle fasi ==
Si chiama spazio delle fasi di un sistema con <math>n</math> gradi di libertà lo [[Spazio (matematica)|spazio]] i cui [[Punto (geometria)|punti]] rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema. Dunque esso è la rappresentazione grafica dello spazio di stato e ha dimensione pari a <math>2n</math>. Generalmente in meccanica razionale lo spazio degli stati è una [[varietà differenziabile]] che ha come dimensione due volte il numero di gradi di libertà del sistema; inoltre, può essere definito come il [[Fibrato tangente|fibrato cotangente]] dello spazio delle configurazioni. Nello spazio delle fasi l'evoluzione di un sistema dinamico discreto appare come una [[Successione (matematica)|successione]] di punti, mentre quella di un sistema dinamico continuo può essere rappresentata da una [[Curva (matematica)|curva]].

La scelta delle coordinate<ref>Va ricordato che le coordinate generalizzate sono funzione del tempo, pertanto le funzioni dipendenti da esse hanno sempre una dipendenza temporale ''implicita''. Se queste funzioni variano rispetto al tempo indipendentemente dalle coordinate generalizzate, si parla di dipendenza temporale ''esplicita''.</ref> per generare lo spazio delle fasi risulta cruciale nella caratterizzazione del sistema, in particolare di alcune sue grandezze fondamentali, come ad esempio l'energia, e delle sue equazioni del moto.

=== Esempi ===
*In [[meccanica lagrangiana]] lo spazio degli stati è definito come lo spazio delle [[coordinate lagrangiane]], ovvero le coppie <math>(q_i, \dot q_i)_{i=1,\dots,n}</math>, dove le <math>\dot q_i</math>sono le [[velocità]] coniugate alle coordinate generalizzate <math>q_i</math>. La funzione che caratterizza la dinamica del sistema è la [[Lagrangiana]]:

::<math>\mathcal L(\mathbf q,\dot\mathbf q) = T(\mathbf q,\dot\mathbf q) - U(\mathbf q)</math>

:Le equazioni del moto, ottenute a partire dal [[principio di minima azione]], sono le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:

::<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\mathbf q}\right) - \frac{\partial\mathcal L}{\partial\mathbf q} = 0</math>

*In [[meccanica hamiltoniana]] lo spazio delle fasi è definito come lo spazio delle [[coordinate hamiltoniane]], ovvero le coppie <math>(q_i, p_i)_{i=1,\dots,n}</math>, dove i <math>p_i</math> sono i momenti coniugati alle [[coordinate generalizzate]] <math>q_i</math>. L'energia totale del sistema è caratterizzata attraverso l'[[Hamiltoniana (funzione)|Hamiltoniana]], che rappresenta la [[trasformata di Legendre]] della Lagrangiana:

::<math>\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p) = \mathbf p\cdot\dot\mathbf q - \mathcal L(\mathbf q,\dot\mathbf q)</math>

:Le equazioni del moto si ricavano riscrivendo le equazioni di Eulero-Lagrange con le nuove coordinate, in forma di [[equazioni di Hamilton]]:

::<math>\dot\mathbf p = -\frac{\partial\mathcal H}{\partial\mathbf q} \qquad \dot\mathbf q = \frac{\partial\mathcal H}{\partial\mathbf p} = 0</math>

*Le formulazioni lagrangiana e hamiltoniana non sono le uniche possibili: [[Edward John Routh]] propose un approccio ibrido tra le due formulazioni tradizionali della meccanica razionale. Dato un sistema meccanico con <math>m + l</math> gradi di libertà, il cui spazio delle configurazioni è generato dalle coordinate generalizzate <math>\left(q_i,\zeta_j\right)^{i=1,\dots,m}_{j=1,\dots,l}</math> dove alle <math>q_i</math> sono associati i rispettivi momenti coniugati <math>p_i</math>, mentre alle <math>\zeta_j</math> vengono associate le rispettive velocità generalizzate <math>\dot\zeta_j</math>.<ref>{{Cita|Goldstein|pag. 352}}.</ref><ref>{{Cita|Landau e Lifšic|pag. 134}}.</ref> Pertanto, lo spazio delle fasi in esame avrà come generatori le ''coordinate routhiane'' <math>(q_i,\zeta_j,p_i,\dot\zeta_j)^{i=1,\dots,m}_{j=1,\dots,l}</math> le quali permettono la definizione della funzione ''routhiana'' come la [[trasformata di Legendre]] della Lagrangiana, in modo del tutto analogo a quanto avviene per l'Hamiltoniana in coordinate hamiltoniane:
::<math>\mathcal R\left(\mathbf q,\boldsymbol\zeta,\mathbf p,\dot\boldsymbol\zeta\right) = \mathbf p\cdot\dot\mathbf q(\mathbf p) - \mathcal L\left(\mathbf q,\boldsymbol\zeta,\mathbf p,\dot\boldsymbol\zeta\right)</math>

:Essendo le coordinate routhiane un insieme di [[coordinate canoniche]], consentono alle equazioni di Hamilton di conservare la loro forma, ma, al contempo, per esse valgono anche le equazioni di Eulero-Lagrange:

::<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial\mathcal R}{\partial\dot\mathbf q}\right) - \frac{\partial\mathcal R}{\partial\mathbf q} = 0 \qquad
\dot\mathbf p = -\frac{\partial\mathcal R}{\partial\dot\mathbf q} \qquad
\dot\mathbf q = \frac{\partial\mathcal R}{\partial\mathbf p} = 0</math>

:In generale, l'utilizzo delle coordinate routhiane risulta particolarmente vantaggioso per sistemi dove compaiono [[Coordinata ciclica|coordinate cicliche]].

Nella [[meccanica classica]] lo spazio delle fasi di solito rappresenta tutte le possibili [[Posizione|posizioni]], velocità e quantità di moto di ogni [[punto materiale]]. Ad esempio, lo spazio degli stati di un [[pendolo semplice]] con massa <math>m</math> è un [[Cilindro (geometria)|cilindro]]: c'è un grado di libertà per la [[Variabile (matematica)|variabile]] [[Angolo|angolare]] che individua la posizione e che si muove su un [[cerchio]] e un grado di libertà per la velocità e la quantità di moto, che a priori possono variare lungo una [[retta]] [[Infinito (matematica)|illimitata]].

== Note ==
<references/>
{{Portale|fisica}}

[[Categoria:Meccanica razionale]]

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