Relasi biner

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

${\displaystyle R_{AB}\subseteq A\times B}$ 

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

${\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\in R}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a\in A}\quad aRa}$ 

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

${\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\notin R}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a\in A}\quad \lnot (aRa)}$ 

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa}$ 

Sebuah relasi “${\displaystyle x+y}$  genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow ((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\notin R)}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow (aRb\rightarrow \lnot (bRa))}$ 

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b}$ 

Relasi ${\displaystyle \leq }$  bersifat anti-simetrik, karena ${\displaystyle 5\leq 6}$  mengakibatkan ${\displaystyle \lnot (6\leq 5)}$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku ${\displaystyle p\leq q}$  dan ${\displaystyle q\leq p}$  berarti ${\displaystyle p=q}$ .

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

${\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}$ 

atau

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in A}{aRb\wedge bRc\rightarrow aRc}}$ 

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas kesetaraan atau kelas kesetaraan.

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

• Teori himpunan
• Himpunan
• Fungsi
• Kelas kesetaraan