Persamaan aljabar

Studi tentang persamaan aljabar mungkin sudah setua matematika: matematikawan Babilonia, sedini 2000 SM dapat memecahkan beberapa jenis persamaan kuadrat (ditampilkan pada Babilonia Tua lauh tanah liat).

Persamaan aljabar univariat di atas rasio (yaitu, dengan koefisien rasional) memiliki sejarah yang sangat panjang. Ahli matematika kuno menginginkan solusi dalam bentuk ekspresi radikal , seperti ${\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$  for the positive solution of ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ . Orang Mesir kuno tahu bagaimana menyelesaikan persamaan derajat 2 dengan cara ini. Matematikawan India Brahmagupta (597–668 M) secara eksplisit mendeskripsikan rumus kuadrat dalam risalahnya Brāhmasphuṭas, tetapi ditulis dengan kata-kata, bukan simbol. Pada abad ke-9 Muhammad bin Musa al-Khwarizmi dan ahli matematika Islam lainnya menurunkan rumus kuadrat, solusi umum dari persamaan derajat 2, dan mengakui pentingnya diskriminan. Selama Renaisans pada tahun 1545, Gerolamo Cardano menerbitkan solusi Scipione del Ferro dan Niccolò Fontana Tartaglia menjadi persamaan derajat 3 dan Lodovico Ferrari untuk persamaan derajat 4. Akhirnya Niels Henrik Abel membuktikan, pada tahun 1824, bahwa persamaan derajat 5 dan yang lebih tinggi. Teori Galois, dinamai berdasarkan Évariste Galois, menunjukkan bahwa beberapa persamaan dengan setidaknya derajat 5 bahkan tidak memiliki solusi idiosinkratik dalam radikal, dan memberikan kriteria untuk memutuskan apakah suatu persamaan ternyata dapat diselesaikan menggunakan akar.

Persamaan aljabar adalah dasar dari sejumlah bidang matematika modern: Teori bilangan aljabar adalah studi tentang persamaan aljabar (univariat) di atas rasio (yaitu, dengan koefisien rasional). Teori Galois diperkenalkan oleh Évariste Galois untuk menentukan kriteria untuk memutuskan apakah persamaan aljabar dapat diselesaikan dalam istilah akar. Dalam teori medan, ekstensi aljabar adalah perpanjangan sedemikian rupa sehingga setiap elemen adalah akar persamaan aljabar di atas bidang alas. Teori bilangan transendental adalah studi tentang bilangan real yang bukan merupakan solusi persamaan aljabar di atas rasio. Persamaan Diofantin adalah persamaan polinomial (biasanya multivariat) dengan koefisien integer yang mana salah satunya tertarik pada solusi bilangan bulat. Geometri aljabar adalah studi tentang solusi dalam bidang tertutup aljabar dari persamaan polinomial multivariat.

Dua persamaan dianggap ekivalen jika mereka memiliki himpunan solusi yang sama. Secara khusus persamaan ${\displaystyle P=Q}$  setara dengan ${\displaystyle P-Q=0}$ . Oleh karena itu, studi tentang persamaan aljabar setara dengan studi tentang polinomial.

Persamaan polinomial di atas rasio selalu dapat diubah menjadi persamaan yang koefisien adalah bilangan bulat. Misalnya, mengalikan dengan 42 = 2 · 3 · 7 dan mengelompokkan suku-suku di anggota pertama, persamaan polinomial yang disebutkan sebelumnya ${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$  menjadi

${\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}$ 

Karena sinus, eksponen, dan 1/ T bukan fungsi polinomial,

${\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}$ 

adalah bukan persamaan polinomial dalam empat variabel x , y , z , dan T di atas bilangan rasional. Namun, ini adalah persamaan polinomial dalam tiga variabel x , y , dan z di atas bidang fungsi dasar dalam variabel T.

Diberikan persamaan yang tidak diketahui x

${\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$ ,

dengan koefisien dalam sebuah bidang K, dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam K adalah akar dalam K dari polinomial

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]}$ .

Dapat ditunjukkan bahwa polinomial derajat n dalam suatu bidang memiliki paling banyak n akar. Oleh karena itu, persamaan (E) memiliki paling banyak solusi n.

Jika K ' adalah ekstensi bidang dari K, seseorang dapat menganggap (E) sebagai persamaan dengan koefisien dalam K dan solusi (E) dalam K juga solusi dalam K ' (kebalikannya tidak berlaku secara umum). Itu selalu mungkin untuk menemukan ekstensi bidang dari K yang dikenal sebagai medan pecah dari polinomial P, di mana (E) memiliki setidaknya satu solusi.

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa bidang dari bilangan kompleks ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.

Oleh karena itu, semua persamaan polinomial derajat 1 atau lebih dengan koefisien nyata memiliki solusi kompleks . Di sisi lain, persamaan seperti ${\displaystyle x^{2}+1=0}$  tidak memiliki solusi di ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (solusinya adalah unit imajiner i dan –i).

Sementara solusi nyata dari persamaan nyata bersifat intuitif (mereka adalah x - koordinat titik-titik di mana kurva y = P(x) memotong sumbu x), keberadaan solusi kompleks untuk persamaan riil dapat mengejutkan dan kurang mudah untuk divisualisasikan.

Namun, polinomial monik derajat ganjil harus memiliki akar nyata. Fungsi polinomial terkait di x kontinu, dan itu mendekati ${\displaystyle -\infty }$  sebagai x dengan ${\displaystyle -\infty }$  dan ${\displaystyle +\infty }$  saat x mendekat ${\displaystyle +\infty }$ . Dengan teorema nilai tengah, ia harus mengasumsikan nilai nol pada beberapa x nyata, yang kemudian merupakan solusi dari persamaan polinomial.

Ada rumus yang memberikan solusi dari polinomial nyata atau kompleks dengan derajat kurang dari atau sama dengan empat sebagai fungsi dari koefisiennya. Abel menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rumus seperti itu secara umum (hanya menggunakan empat operasi aritmatika dan mengambil akar) untuk persamaan derajat lima atau lebih tinggi. Teori Galois memberikan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah solusi untuk persamaan polinomial tertentu dapat diekspresikan menggunakan akar.

Solusi eksplisit dari persamaan derajat 1 nyata atau kompleks adalah sepele. Menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi n berkurang menjadi memfaktorkan polinomial terkait, yaitu

${\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0}$ ,

dimana solusinya maka ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ . Masalahnya adalah untuk mengekspresikan ${\displaystyle z_{i}}$  dalam hal ${\displaystyle a_{i}}$ .

Pendekatan ini berlaku lebih umum jika koefisien dan solusi termasuk dalam domain integral.

• Fungsi aljabar
• Bilangan aljabar
• Kesimpulan akar
• Persamaan linear (derajat = 1)
• Persamaan kuadrat (derajat = 2)
• Persamaan kubik (derajat = 3)
• Persamaan kuartik (derajat = 4)
• Persamaan kuintik (derajat = 5)
• Persamaan urutan (derajat = 6)
• Persamaan septik (derajat = 7)
• Sistem persamaan linear
• Sistem persamaan polinomial
• Persamaan Diofantin Linear
• Persamaan linear gelanggang
• Teorema Cramer (kurva aljabar), pada jumlah titik biasanya cukup untuk menentukan kurva derajat ke-bivariat n

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Algebraic Equation". MathWorld.