Logikai művelet

Logikai műveletek alatt az ítéletkalkulus ítéletein definiált műveleteket értünk, amelyek segítségével az ítéletekből újabb, összetett ítéleteket alkothatunk. Az így képezett összetett ítéletek igazságértéke pedig egyértelműen meghatározható a kiindulási ítéletek igazságértékeiből.

A logikai művelet, mint általános fogalom, számtalan különféle néven fordul elő a szakirodalomban. A szerzők beszélnek pl. logikai függvényekről, igazságfüggvényekről, logikai operátorokról (ezek közé általában a kvantorokat is beleértve), vagy - ritkábban - junktorokról.

A legáltalánosabban használt logikai műveletek a negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia.

A logikai műveleteket két nagy csoportba osztjuk: formális logikára és szimbolikus logikára. A formális logika célja a helyes következtetések levonása. A szimbolikus logika szimbólumokat használ:

Igaz = I, i, 1, ↑ (felfelé mutató nyíl), ⊤ (logikai igaz szimbólum), T, t (true); ritkábban I, i (igen), Y, Y (yes)
Hamis = H, h, 0, ↓ (lefelé mutató nyíl), ⊥ (logikai hamis szimbólum), F, f (false); ritkábban N, n (nem), N, n (no)

Egyváltozós logikai műveletek

Négy egyváltozós logikai művelet van, hiszen attól függően, hogy a kiinduló állítás igaz vagy hamis, az eredmény is igaz vagy hamis lehet. Tehát a kiinduló állítás igaz és hamis értékéhez is két lehetőség van, ami összesen 2 × 2 = 4 lehetőség.

A	I	A	¬A	H
i	i	i	h	h
h	i	h	i	h

Az 1. művelet és a 4. művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek. Valódi egyváltozós művelet a 2. és a 3. (a 2. a változóhoz saját magát rendeli, a 3. pedig a negáltját).

Negáció

Bővebben: Negáció

A negáció (tagadás) egyváltozós logikai művelet; egy állításhoz hozzárendel egy másik állítást, melynek igazságértéke az eredeti ellentettje.

Jele: ¬ (olvasd: nem).

A ¬A állítás akkor igaz, amikor az A állítás hamis, és akkor hamis, amikor az A állítás igaz.

Például: a „szeretem a kutyákat” állításhoz a „nem igaz, hogy szeretem a kutyákat” állítást rendeli hozzá. Fontos kiemelni, hogy a „szeretem a kutyákat” negáltja nem a „nem szeretem a kutyákat”, hiszen az utóbbi csak a szeretet mértékét negálja. Holott, ha nem igaz, hogy „szeretem a kutyákat”, akkor lehet, hogy nem szeretem őket, de az is lehet, hogy közömbös vagyok az irányukban.

A nem szócskával a negáció ellenkezőjére változtatja az állítás logikai értékét.

Értéktáblázata:

A	¬A
i	h
h	i

Kétváltozós logikai műveletek

16 kétváltozós logikai művelet van, ugyanis a kétváltozós logikai műveletek két állításhoz rendelnek hozzá egy harmadikat, a két kiinduló állítás mindegyike kétféle logikai értéket vehet fel, ami összesen 4 lehetőséget jelent:

igaz, igaz;
igaz, hamis;
hamis, igaz;
hamis, hamis;

A kiinduló állítás négy lehetősége mindegyikéhez az eredmény kétféle (igaz vagy hamis) lehet, ez összesen 2 × 2 × 2 × 2 = 16 lehetőség.

Kétváltozós logikai műveletek
A	B	I	A ∨ B	A → B	B	B → A	A	A ↔ B	A ∧ B	H	¬(A∨B)	¬(A→B)	¬B	¬(B→A)	¬A	¬(A↔B)	¬(A∧B)
i	i	i	i	i	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h
h	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h	i	i	i	i
i	h	i	i	h	h	i	i	h	h	h	h	i	i	h	h	i	i
h	h	i	h	i	h	i	h	i	h	h	i	h	i	h	i	h	i

Az 1. művelet és a 9 művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek.
A 4., a 6., a 12. és a 14. egyváltozós műveletek.
Valódi kétváltozós műveletek a 2., a 3., az 5., a 7., a 8., a 10., a 11., a 13., a 15. és a 16.

Konjunkció

Bővebben: Konjunkció

Logikai és, jele ∧. Kétváltozós logikai művelet, az eredménye csak akkor igaz, ha A és B is igaz (különben hamis).

Igazságtáblája:

A ∧ B		A
A ∧ B		i	h
B	i	i	h
B	h	h	h

Diszjunkció

Bővebben: Diszjunkció

Logikai vagy, jele ∨. Kétváltozós logikai művelet, az eredménye csak akkor hamis, ha A és B is hamis (különben igaz).

Igazságtáblája:

A ∨ B		A
A ∨ B		i	h
B	i	i	i
B	h	i	h

Hivatkozások

Dienes Zoltán: Building up Mathematics, Hutchinson Educational Ltd, (1960) magyarul: Dienes Zoltán: Építsük fel a matematikát. 3. kiadás, Edge 2000 Kiadó (2015)
Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)

A	B	I	A ∨ B	A → B	B	B → A	A	A ↔ B	A ∧ B	H	¬(A∨B)	¬(A→B)	¬B	¬(B→A)	¬A	¬(A↔B)	¬(A∧B)
i	i	i	i	i	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h
h	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h	i	i	i	i
i	h	i	i	h	h	i	i	h	h	h	h	i	i	h	h	i	i
h	h	i	h	i	h	i	h	i	h	h	i	h	i	h	i	h	i

A	B	I	A ∨ B	A → B	B	B → A	A	A ↔ B	A ∧ B	H	¬(A∨B)	¬(A→B)	¬B	¬(B→A)	¬A	¬(A↔B)	¬(A∧B)
i	i	i	i	i	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h
h	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h	i	i	i	i
i	h	i	i	h	h	i	i	h	h	h	h	i	i	h	h	i	i
h	h	i	h	i	h	i	h	i	h	h	i	h	i	h	i	h	i

A	B	I	A ∨ B	A → B	B	B → A	A	A ↔ B	A ∧ B	H	¬(A∨B)	¬(A→B)	¬B	¬(B→A)	¬A	¬(A↔B)	¬(A∧B)
i	i	i	i	i	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h
h	i	i	i	i	i	h	h	h	h	h	h	h	h	i	i	i	i
i	h	i	i	h	h	i	i	h	h	h	h	i	i	h	h	i	i
h	h	i	h	i	h	i	h	i	h	h	i	h	i	h	i	h	i