Lineáris leképezés

Legyen V és U a ${\displaystyle \mathbb {T} }$  test feletti két vektortér. Az ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$  leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v₁ és v₂ ∈ V vektorra, illetve minden λ ∈ ${\displaystyle \mathbb {T} }$  elemre és v ∈ V vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

• additivitás: ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})={\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})}$ 

• homogenitás: ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\lambda \mathbf {v} )=\lambda {\mathcal {A}}(\mathbf {v} )}$ 

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ₁, λ₂, … , λ_n ${\displaystyle \mathbb {T} }$ -beli elemre és v₁, v₂, … , v_n ∈ V vektorra:

${\displaystyle {\mathcal {A}}(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+...+\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=\lambda _{1}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+\lambda _{2}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})+...+\lambda _{n}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{n})}$ .

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$  egy ${\displaystyle \mathbb {T} }$  feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  leképezés ${\displaystyle \mathbb {T} }$ -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a ${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ , ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}\,}$  konjugálás ugyan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -lineáris, de nem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -lineáris.

A ${\displaystyle V\rightarrow \mathbb {T} }$  típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\mathcal {A}}):=\{\,\mathbf {w} \in U:\mathbf {w} ={\mathcal {A}}(\mathbf {v} ),\mathbf {v} \in V\,\}}$  módon definiált képtér esetén

${\displaystyle \operatorname {rang} ({\mathcal {A}}):=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} ({\mathcal {A}}))}$ .

Egy leképezés lineáris, ha megőrzi a vektortér szerkezetét, vagyis az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$  vektorok a ${\displaystyle V}$  vektortérben! Ekkor, ha ${\displaystyle v_{3}=v_{1}+v_{2}}$ , akkor ${\displaystyle f(v_{3})=f(v_{1})+f(v_{2})}$ , így az összegzés átvihető az értékkészletre:

${\displaystyle \forall v_{1},v_{2},v_{3}\in V{\Big (}v_{3}=v_{1}+v_{2}\implies f(v_{3})=f(v_{1})+f(v_{2}){\Big )}}$ 

A következtetés egyszerűsíthető, ha elvégezzük a ${\displaystyle v_{3}=v_{1}+v_{2}}$  behelyettesítését az ${\displaystyle f(v_{3})=f(v_{1})+f(v_{2})}$  összegbe: ${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})}$ . Hasonlóan írható le a skalárral szorzás is. Ez teljesül, hogyha ${\displaystyle {\tilde {v}}=\lambda v}$  követi ${\displaystyle \lambda \in T}$  és ${\displaystyle v\in V}$  kapcsolatát, vagyis ${\displaystyle f({\tilde {v}})=\lambda f(v)}$  az értékkészletben is fennáll:

${\displaystyle \forall {\tilde {v}},v\in V\,\forall \lambda \in K{\Big (}{\tilde {v}}=\lambda v\implies f({\tilde {v}})=\lambda f(v){\Big )}}$ 

Elvégezve a ${\displaystyle {\tilde {v}}=\lambda v}$  helyettesítését az ${\displaystyle f({\tilde {v}})=\lambda f(v)}$  következménybe kapjuk, hogy ${\displaystyle f(\lambda v)=\lambda f(v)}$ .

•  
  A vektorok összeadásának megőrzésének bemutatása: Minden ${\displaystyle v_{1}}$ , ${\displaystyle v_{2}}$  és ${\displaystyle v_{3}=v_{1}+v_{2}}$  által megadott addíciós háromszöget megőriz az ${\displaystyle f}$  lineáris leképezés. Az ${\displaystyle f(v_{1})}$ , ${\displaystyle f(v_{2})}$  és ${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})}$  vektorok is addíciós háromszöget alkotnak és teljesül, hogy ${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})}$ .
•  
  Az összeadást nem megőprző leképezéseknél vannak ${\displaystyle v_{1}}$ , ${\displaystyle v_{2}}$  és ${\displaystyle v_{3}=v_{1}+v_{2}}$  vektorok úgy, hogy ${\displaystyle f(v_{1})}$ , ${\displaystyle f(v_{2})}$  és ${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})}$  nem alkot addíciós háromszöget, mivel ${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})\neq f(v_{1})+f(v_{2})}$ . Egy ilyen leképezés nem lineáris.
•  
  A skalárral szorzás megőrzésének bemutatása: Minden ${\displaystyle \lambda v}$  skálázást megőriz a lineáris leképezés, és teljesül, hogy ${\displaystyle f(\lambda v)=\lambda f(v)}$ .
•  
  Ha egy leképezés nem őrzi meg a skalárral szorzást, akkor van egy ${\displaystyle \lambda }$  skalár és egy ${\displaystyle v}$  vektor úgy, hogy a ${\displaystyle \lambda v}$  skálázás nem a ${\displaystyle \lambda f(v)}$  skálázásra képeződik. Egy ilyen leképezés nem lineáris.

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ , ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathcal {A}}}}}$ , ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {B}}}}$ , ${\displaystyle {\widehat {\underline {\underline {C}}}}}$ ,${\displaystyle \varphi \,}$ , ${\displaystyle {\mathcal {A}}\mathbf {v} }$ 

• Monomorfizmus: ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$  injektív lineáris homomorfizmus
• Epimorfizmus: ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$  szürjektív lineáris homomorfizmus
• Izomorfizmus: ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$  bijektív lineáris homomorfizmus
• Endomorfizmus: ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow V}$  lineáris homomorfizmus
• Automorfizmus: ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow V}$  bijektív lineáris homomorfizmus

A mag és a kép lineáris leképezések szempontjából fontos vektorterek. Legyen ${\displaystyle f\colon V\to W}$  lineáris leképezés! Ekkor:

• Az ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$  kép az ${\displaystyle f}$  szerinti képvektorok halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek előállnak, mint ${\displaystyle f(v)}$ , ahol ${\displaystyle v\in V}$ . Úgy is jelzik, mint ${\displaystyle f(V)}$ . Ez a halmaz a ${\displaystyle W}$  altere. Úgy is nevezik, hogy ${\displaystyle f\colon V\to W}$  képtere.

• A ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$  mag azoknak a ${\displaystyle V}$ -beli vektoroknak a halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek ${\displaystyle W}$  nullvektorára képeződnek le. Ez a mag altér ${\displaystyle V}$ -ben. Az ${\displaystyle f}$  leképezés pontosan akkor injektív, ha csak a nullvektort tartalmazza. Úgy is nevezik, mint ${\displaystyle f\colon V\to W}$  magtere.

• Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha ${\displaystyle {\mathcal {A}}:V\rightarrow U}$ , akkor ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{U}}$ . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
• Egy ${\displaystyle f\colon V\to W}$  lineáris leképezés esetén a mag és a kép kapcsolatát a homomorfiatétel írja le: a ${\displaystyle V/\mathrm {ker} (f)}$  faktortér izomorf a ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$  képpel.

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Ha ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  és ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  két V ${\displaystyle \rightarrow }$  U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b₁, b₂, …, b_n) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{1})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{1}),\;{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{2})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{2}),\;...\;,{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{n})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{n})}$ 

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

${\displaystyle [{\mathcal {A}}]_{B,C}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{1}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{2}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&...&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{n}\\\vert \\\vert \end{matrix}}\end{bmatrix}}}$ 

ahol B = (b₁, b₂, …, b_n) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a ${\displaystyle [{\mathcal {A}}]_{B,C}}$  mátrix összesen m ${\displaystyle \cdot }$  n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  ${\displaystyle V\rightarrow V}$  típusú, akkor csak ${\displaystyle [{\mathcal {A}}]_{B}}$ -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán ${\displaystyle [{\mathcal {A}}]}$ -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$  n-dimenziós vektortér (például ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ) bázisaként az ${\displaystyle e_{i}=(0,0,\dots ,0,{\overset {\overset {i.}{\smile }}{1}},0,\dots ,0)}$  (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

${\displaystyle {\mbox{ }}_{{\mbox{ }}_{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\dots \;,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}}}$ 

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

${\displaystyle [{\mathcal {A}}\mathbf {v} ]_{C}=[{\mathcal {A}}]_{B,C}\cdot [\mathbf {v} ]_{B}}$ 

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: A ∼ B), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

${\displaystyle B=P^{-1}AP}$ .

Bizonyítható állítások:

• Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
• A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
• Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Az azonos ${\displaystyle \mathbb {T} }$  test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V ${\displaystyle \rightarrow }$  V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V ${\displaystyle \rightarrow }$  V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:

• Kompozíció

${\displaystyle [{\mathcal {A}}\circ {\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]\cdot [{\mathcal {B}}]}$ 

• Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:

${\displaystyle [{\mathcal {A}}^{-1}]=[{\mathcal {A}}]^{-1}}$ 

• Összeadás

${\displaystyle [{\mathcal {A}}+{\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]+[{\mathcal {B}}]}$ 

• Skalárszorzás

${\displaystyle [\lambda {\mathcal {A}}]=\lambda \cdot [{\mathcal {A}}]}$ 

ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.

Bővebben: Dimenziótétel

A dimenziótétel kimondja, hogy a ${\displaystyle V}$ -t ${\displaystyle V}$ -be képező lineáris leképezés magjának és képének dimenziójának összege megegyezik

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)}$ 

${\displaystyle V=W=\mathbb {R} }$  esetén a lineáris leképezések alakja ${\displaystyle f(x)=mx}$ , ahol ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ .

Ha ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$  nyílt intervallum, ${\displaystyle V=C^{1}(I,\mathbb {R} )}$  az ${\displaystyle I}$  intervallumon folytonosan differenciálható valós értékű függvények vektortere, és ${\displaystyle W=C^{0}(I,\mathbb {R} )}$  az ${\displaystyle I}$  intervallumon folytonos valós értékű függvények tere! Ekkor
${\displaystyle D\colon C^{1}(I,\mathbb {R} )\to C^{0}(I,\mathbb {R} )}$ , ${\displaystyle f\mapsto f'}$ ,
vagyis a deriválás lineáris leképezés. Hasonlóak teljesülnek más lineáris differenciáloperátorokra.

Síkbeli lineáris transzformációk és ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:

• identitás

  ${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ 

• forgatás az origó körül
  • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ 

  • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$ 

• tükrözés
  • az x-tengelyre:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ 

  • az y-tengelyre:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ 

• kétszeres nagyítás:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$ 

• vízszintes nyírás:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$ 

• hiperbolikus forgatás:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$ 

• merőleges vetítés az x-tengelyre: ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ 
• merőleges vetítés az y-tengelyre: ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ 

Nem lineáris transzformáció:

• eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

•  
  Az ${\displaystyle f(x,y)=(2x,y)}$  transzformáció lineáris leképezés, ami ${\displaystyle x}$  koordinátát a ${\displaystyle 2}$ -szeresére nyújtja.
•  
  Ez a leképezés additív: Mindegy, hogy előbb összeadjuk-e a vektorokat és utána képezzük le, vagy először leképezzük és utána adjuk össze őket: ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ .
•  
  Ez a leképezés homogén: Mindegy, hogy először a vektort skálázzuk és utána képezzük le, vagy pedig először leképezzük a vektort és utána skálázzuk: ${\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$ .

Egy lineáris leképezést egy bázis vektorainak képe egyértelműen meghatározza. Legyenek ${\displaystyle b_{1},\dotsc ,b_{n}}$  bázis ${\displaystyle V}$ -ben, és legyenek ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$  vektorok ${\displaystyle W}$ -ben! Ekkor pontosan egy ${\displaystyle f\colon V\to W}$  lineáris leképezés van, ami ${\displaystyle b_{1}}$ -et ${\displaystyle w_{1}}$ -re, ${\displaystyle b_{2}}$ -t ${\displaystyle w_{2}}$ -re, …, ${\displaystyle b_{n}}$ -t ${\displaystyle w_{n}}$ -re képéezi. Ha ${\displaystyle v}$  tetszőleges vektor ${\displaystyle V}$ -ben, akkor egyértelműen előáll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

${\displaystyle v=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}v_{j}b_{j}}$ 

Itt ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$  a ${\displaystyle v}$  vektor koordinátái a ${\displaystyle \{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}}$  bázisban. Képvektora, ${\displaystyle f(v)}$  előáll, mint

${\displaystyle f(v)=\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}v_{j}f(b_{j})=\sum \limits _{j=1}^{n}v_{j}w_{j}.}$ 

Az ${\displaystyle f}$  leképezés pontosan akkor injektív, ha a ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$  vektorok lineárisan függetlenek. Pontosan akkor szürjektív, ha ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$  generátorrendszer ${\displaystyle W}$ -ben.

Ha a ${\displaystyle b_{1},\dotsc ,b_{n}}$  minden eleméhez tetszőleges ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n}}$  vektorokat rendelünk ${\displaystyle W}$ -ből, akkor a fenti képlettel egyértelműen kiterjeszthető lineáris leképezéssé.

Ha a ${\displaystyle w_{j}}$  vektorok bázist alkotnak ${\displaystyle W}$ -ben, akkor ezzel megalkotható a lineáris leképezés mátrixa a két bázisra vonatkozóan.

Ha ${\displaystyle V}$  és ${\displaystyle W}$  véges dimenziós vektorterek, ${\displaystyle \dim V=n}$ , ${\displaystyle \dim W=m}$ , és ${\displaystyle B=\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}}$  bázisa ${\displaystyle V}$ -nek, illetve ${\displaystyle B'=\{b_{1}',\dotsc ,b_{m}'\}}$  bázisa ${\displaystyle W}$ -nek. Ekkor minden ${\displaystyle f\colon V\to W}$  lineáris leképezés ábrázolható ${\displaystyle m\times n}$ -es ${\displaystyle M_{B'}^{B}(f)}$  mátrixként. Ez megkapható a következő módon:

A ${\displaystyle B}$  bázis minden ${\displaystyle b_{j}}$  bázisvektorához hozzárendelt ${\displaystyle f(b_{j})}$  vektort előállítjuk a ${\displaystyle b_{1}',\dotsc ,b_{m}'}$  bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

${\displaystyle f(b_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}'}$ 

Az ${\displaystyle a_{ij}}$ , ${\displaystyle i=1,\dotsc ,m}$ , ${\displaystyle j=1,\dotsc ,n}$  koordináták az ${\displaystyle M_{B'}^{B}(f)}$  mátrix komponensei:

${\displaystyle M_{B'}^{B}(f)={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$ 

A ${\displaystyle j}$ -edik oszlop tartalmazza ${\displaystyle f(b_{j})}$  koordinátáit a ${\displaystyle B'}$  bázisban.

Ezzel a mátrixszal minden ${\displaystyle v=v_{1}b_{1}+\dotsb +v_{n}b_{n}\in V}$  vektor ${\displaystyle f(v)}$  képvektora kiszámítható:

${\displaystyle f(v)=\sum _{j=1}^{n}v_{j}f(b_{j})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}'\right)=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)b_{i}'}$ 

Az ${\displaystyle f(v)}$  képvektor ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{m}}$  koordinátáira vonatkozóan szintén teljesül ${\displaystyle B'}$ -re vonatkozóan, hogy ${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}$ .

Ez kifejezhető mátrixszorzásként:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}}$ 

Az ${\displaystyle M_{B'}^{B}(f)}$  mátrix az ${\displaystyle f}$  leképezés mátrixa. Az ${\displaystyle M_{B'}^{B}(f)}$  mátrix más írásmódjai: ${\displaystyle _{B'}f_{B}}$  és ${\displaystyle _{B'}[f]_{B}}$ .

A funkcionális analízis keretében a végtelen dimenziós vektorterekben a lineáris leképezéseket lineáris operátoroknak nevezik. Többnyire teljes normált terek közötti leképezéseket vizsgálnak; ezek Banach-terek. Mivel a Baire-féle kategóriatétel szerint az efféle tereknek nincs megszámlálható bázisa, azért nem elég a leképezéseket egy bázison keresztül tanulmányozni. Hogy egyáltalán létezik valamilyen bázis, azt csak a kiválasztási axióma biztosítja. Ehelyett más bázisfogalmat használnak, mint az ortonormált bázis vagy az általánosabb Schauder-bázis. Így bizonyos operátorok, mint a Hilbert-Schmidt-operátorok ábrázolhatók végtelen mátrixokkal, és végtelen lineáris kombinációkkal.

Legyenek ${\displaystyle V}$  és ${\displaystyle W}$  a ${\displaystyle K}$  test fölötti vektorterek! Ekkor használják a ${\displaystyle {\text{Hom}}_{K}(V,W)}$  vagy az ${\displaystyle L(V,W)}$  jelölést a ${\displaystyle V}$  lineáris leképezéseinek ${\displaystyle W}$ -be menő halmazára. Ez szintén vektortér a ${\displaystyle K}$  test fölött, ami a ${\displaystyle V}$ -ből ${\displaystyle W}$ -be menő leképezések altere.

Ez azt jelenti, hogyha ${\displaystyle f}$  és ${\displaystyle g}$  lineáris leképezések, akkor összegük szintén lineáris leképezés:

${\displaystyle (f+g)\colon x\mapsto f(x)+g(x),}$ 

és egy lineáris leképezés skalárszorosa is lineáris leképezés:

${\displaystyle (\lambda f)\colon x\mapsto \lambda f(x)}$ 

ahol ${\displaystyle \lambda \in K}$ .

Ha ${\displaystyle V}$  dimenziója ${\displaystyle n}$ , és ${\displaystyle W}$  dimenziója ${\displaystyle m}$ , illetve adva van ${\displaystyle V}$ -ben egy ${\displaystyle B}$  bázis, és ${\displaystyle W}$ -ben egy ${\displaystyle C}$  bázis, akkor az

${\displaystyle L(V,W)\to K^{m\times n},\ f\mapsto M_{C}^{B}(f)}$ 

leképezés izomorfizmus a ${\displaystyle K^{m\times n}}$  mátrixtérben. Az ${\displaystyle L(V,W)}$  vektortér dimenziója ${\displaystyle m\cdot n}$ .

Speciálisan, ha ${\displaystyle V=W}$ , akkor a lineáris leképezések egymás utáni elvégzéssel szorozhatók is, amivel asszociatív algebrát alkotnak, amelyet ${\displaystyle L(V)}$  jelöl.

Egy lineáris leképezés egy speciális affin leképezés.

Ha test helyett gyűrű fölött vizsgálódunk, akkor modulhomomofizmust kapunk.

• PlanetMath: Linear transformation Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Encyclopaedia of Mathematics: Linear operator
• MathWorld: Linear Transformation
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 6., durchgesehene und ergänzte Auflage. Vieweg Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-56508-X, S. 124–143.
• Günter Gramlich: Lineare Algebra. Eine Einführung für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München 2003, ISBN 3-446-22122-0.
• Detlef Wille: Repetitorium der Linearen Algebra. Band 1. 4. Auflage, Nachdruck. Binomi, Springe 2003, ISBN 3-923923-40-6.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.