Fizikai inga

 

A mozgás paramétereit a merev testek rögzített tengely körüli forgását leíró forgásegyenlet alapján lehet meghatározni:

${\displaystyle M=I\beta }$ ,

ahol ${\displaystyle M}$  a nehézségi erő forgatónyomatéka az adott tengelyre, ${\displaystyle I}$  a merev test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, ${\displaystyle \beta }$  a szöggyorsulás.

A nehézségi erőnek a vízszintes tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka az ábra jelöléseivel:

${\displaystyle M=-mgL\sin \theta }$ ,

ahol ${\displaystyle m}$  a test tömege, ${\displaystyle g}$  a földi nehézségi gyorsulás, ${\displaystyle L}$  a tömegközéppont és a forgástengely távolsága, ${\displaystyle \theta }$  az a szög, amit a tömegközéppontot és a forgástengelyt összekötő egyenes a függőlegessel bezár. Ez a szög jellemzi a test helyzetét az egyensúlyi helyzethez képest. A negatív előjelet úgy értelmezhetjük, hogy a szögkitérés és a forgatónyomaték ellentétes irányúak. Az ábrán a kitérés jobbra nő, miközben a nehézségi erő balra forgat.

A szöggyorsulás a szögkitérés idő szerinti második deriváltja:

${\displaystyle \beta ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$ .

A merev test forgását meghatározó forgásegyenlet tehát egy másodrendű differenciálegyenlet:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgL\sin \theta }$ .

A matematikai ingánál is alkalmazott közelítés, amikor az egyenlet megoldását kis kitérések esetén keressük. Ebben az esetben a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ .

Ezt a közelítést alkalmazva átrendezés után kapjuk:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {mgL}{I}}\theta =0}$ .

Bevezetve a következő jelölést:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {mgL}{I}}}}$ ,

az egyenlet a következő alakra hozható: ${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\omega ^{2}\theta }$ .

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A fizikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél ${\displaystyle \omega }$  körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető.

A vízszintes tengely körül szabad lengéseket végző inga periódusideje kis kitérések esetén:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}}$ .

Adott fizikai ingához található olyan matematikai inga, amelynek a lengésideje megegyezik az adott fizikai inga lengésidejével. A korábbi jelöléseket megtartva és bevezetve az inga ${\displaystyle l_{0}}$  redukált hosszát:

${\displaystyle l_{0}={\frac {I}{mL}}}$ ,

a matematikai inga analógiájára a periódusidő átírható:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{0}}{g}}}}$ .

Ha a forgástengely nem vízszintes, hanem azzal ${\displaystyle \psi }$  szöget bezáró, akkor a nehézségi erőnek a megfelelő komponensével kell számolnunk. A forgatónyomaték a következő lesz:

${\displaystyle M=-mgL\sin \theta \cos \psi }$ .

A periódusidő ennek megfelelően:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL\cos \psi }}}}$ .

Széleskörűen elterjedt alkalmazás az időmérés ingaórával. A 2 másodperc periódusidejű ingát másodpercingának hívják, ennek hossza ~1 m. (Az 1 m hosszú matematikai inga periódusideje 2,006066 s). Az ingaórákban előszeretettel alkalmazzák a másodpercingát, mivel ez az inga minden kilendülésnél egyszer elmozdítja a másodperc mutatót. Az ingaórák a súrlódás következtében pontatlanok lesznek.

A g nehézségi gyorsulás változóként szerepel az inga lengésidejének képletében, ez azt jelenti, hogy az inga frekvenciája a Föld különböző pontjain eltérő lesz. Így például, ha egy ingaóra pontosan jár Glasgowban (ahol a g = 9,915 63 m/s²) és ezt az órát elvisszük Kairóba, (ahol g = 9,793 17 m/s²), az inga hosszát 0,23%-kal meg kell rövidíteni

Az inga ennélfogva alkalmas a földmérésben a helyi gravitáció mérésére a Föld bármely pontján – ezt gravimetriának hívják.

Csaknem függőleges tengelyű – úgynevezett horizontális – ingát használtak az első szeizmográfokban a földrengések mérésére. Az inga lengésideje – a fentebb tárgyalt nem vízszintes tengelyű lengéseknél láthatóan – változik, ha megváltozik a vízszintessel bezárt szög. A földrengés következtében megváltozó szög miatt a műszer mutatójának mozgásához tartozó periódusidő megváltozik, ezt egy dobra felcsévélt szalagra rajzolta a műszer.^[2]

Ahogy először Maximilian Schuler igazolta 1923-ban írt, klasszikussá vált dolgozatában, hogy egy inga, melynek periódusideje pontosan megegyezik egy hipotetikus mesterséges holddal, mely a Föld felszine magasságában kering (ez ~84 perc) a Föld középpontja felé fog mutatni, ha az alapja hirtelen elmozdul. Ez az alapelve a Schuler-hangolásnak, melyet minden inerciális vezérlés tervezésénél figyelembe kell venni, amely a Föld közelében működik, tehát például repülőgépeken vagy hajókon.

Két csatolt inga kettős ingát alkot. Sok fizikai rendszert lehet modellezni csatolt ingával. Bizonyos feltételek mellett ezek a rendszerek a kaotikus mozgás szemléltetésére is alkalmasak.

Ingát gyakran látni játszótereken. A hinta egy bizonyos fajta parametrikus lengőrendszer. Hintákkal szoktak kiegészíteni körhintákat is a nagyobb élmény kedvéért.

Az inga hasonlóan viselkedik, mint egy rugó-tömeg rendszer. Néhány esetben (például mozdonyoknál) a kocsiszekrény vízszintes irányú rugózását ingás felfüggesztéssel helyettesítik.

1. ↑ Demény A., Erostyák J., Szabó G., Trócsányi Z.: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, ISBN 963-19-5719-5
2. ↑ Seismograph

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963-10-359-13
• Interaktív Java szimuláció egy egyszerű inga mozgásáról Archiválva 2013. május 4-i dátummal a Wayback Machine-ben. Szerző: Erik Neumann
• Interaktív Java szimuláció a kettős inga mozgásáról Archiválva 2013. május 11-i dátummal a Wayback Machine-ben. Szerző: Erik Neumann

• Matematikai inga
• Ingaóra
• Foucault-inga
• Kettős inga
• Harmonográf
• Metronom
• Gömbi inga

• Az Eötvös-inga (Magyar Tudomány, 1988/7)
• Az Eötvös-inga mérések jelentősége és geodéziai alkalmazásuk