Egybevágóság

${\displaystyle a}$  és ${\displaystyle b}$  szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

${\displaystyle a\cong b}$  vagy ${\displaystyle b\cong a}$ 

• Legyenek ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  tetszőleges egyenesek, ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  az a egyenes tetszőleges pontjai, ${\displaystyle A'}$  pedig a ${\displaystyle b}$  egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a ${\displaystyle b}$  egyenesen az ${\displaystyle A'}$  pont egy adott oldalán pontosan egy olyan ${\displaystyle B'}$  pont van, hogy ${\displaystyle AB\cong A'B'}$  teljesül.
• Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  pontokra teljesül, hogy ${\displaystyle AB\cong AB}$ .
• Ha az ${\displaystyle AB}$  szakasz egybevágó az ${\displaystyle A'B'}$  szakasszal is és az ${\displaystyle A''B''}$  szakasszal is, akkor az ${\displaystyle A'B'}$  szakasz egybevágó az ${\displaystyle A''B''}$  szakasszal.
• Legyenek ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$  az ${\displaystyle a}$  egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle BC}$  szakaszoknak a ${\displaystyle B}$  pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá ${\displaystyle A'B'}$ , ${\displaystyle B'C'}$  az ${\displaystyle a'}$  egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az ${\displaystyle A'B'}$ , ${\displaystyle B'C'}$  szakaszoknak a ${\displaystyle B'}$  pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha ${\displaystyle AB\cong A'B'}$  és ${\displaystyle BC\cong B'C'}$ , akkor ${\displaystyle AC\cong A'C'}$ .
• Legyen ${\displaystyle \angle AOB}$  egy tetszőleges szög az ${\displaystyle \alpha }$  síkon, ahol a ${\displaystyle OA}$  és ${\displaystyle OB}$  a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá ${\displaystyle a'}$  a ${\displaystyle \alpha '}$  sík egy tetszőleges egyenese és jelölje ${\displaystyle O'A'}$  az ${\displaystyle a'}$  valamely ${\displaystyle O'}$  pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az ${\displaystyle \alpha '}$  síkon pontosan egy olyan, az ${\displaystyle O'}$  pontból kiinduló ${\displaystyle O'B'}$  félegyenes létezik, amelyre az ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle A'O'B'}$  (vagy ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle B'O'A'}$ ) egybevágóság teljesül és a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$  szög belső pontjai az ${\displaystyle a'}$  egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
• Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges ${\displaystyle \angle AOB}$  szögre ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle AOB}$  teljesül.
• Ha az ${\displaystyle \angle AOB}$  szög egybevágó a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$  szöggel is és az ${\displaystyle \angle A''O''B''}$  szöggel is, akkor a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$  szög egybevágó az ${\displaystyle \angle A''O''B''}$  szöggel.
• Legyen ${\displaystyle ABC}$  és ${\displaystyle A'B'C'}$  két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a ${\displaystyle AB\cong A'B'}$ , ${\displaystyle AC\cong A'C'}$  és ${\displaystyle \angle BAC\cong \angle B'A'C'}$  egybevágóságok, akkor az ${\displaystyle \angle ABC\cong \angle A'B'C'}$  és ${\displaystyle \angle ACB\cong \angle A'C'B'}$  egybevágóságok is teljesülnek.

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.^[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták,^[2] ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

• David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.

• The SSS
• The SSA
• Egybevágó szögek interaktív animációval
• Egybevágó szakaszok interaktív animációval