Asszociativitás

Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:

Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:

• Az A halmazon értelmezett ${\displaystyle *}$  kétváltozós művelet asszociatív;
• Tetszőleges ${\displaystyle n}$  db. (nem feltétlenül különböző) ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$  elemekre az ${\displaystyle a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}:=c\in A}$  műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített ${\displaystyle c}$  elemet adja; itt ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ .^[2]
• Legyenek ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}}$  tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor ${\displaystyle \textstyle \prod (A_{1}\vee A_{2}\vee \ldots \vee A_{k})=\textstyle \prod (A_{1})\cdot \textstyle \prod (A_{2})\cdot \ldots \cdot \textstyle \prod (A_{k})}$ , ahol ${\displaystyle \textstyle \prod }$  a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg ${\displaystyle \vee }$  az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli.

Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla tagjuk legyen.

(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett teljes indukcióval történhet.)

Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.

Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a halmazműveleteket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$  (az unió „asszociativitása”) és ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$  is (a metszetképzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak műveletekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz hatványhalmazának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.

• Alice és Bob - 11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz
• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

• Kommutativitás
• Disztributivitás