Inkommenzurábilitás

Például egy 40 cm hosszú és egy 2 m 20 cm hosszúságú szakasz összemérhetetlennek tűnik, ha a méterrudat használjuk egységként, de nem így van: például 20 cm-es egységben mérve, definíció szerint kommenzurábilisak (az egyik 2 egységnyi, a másik 11 egységnyi). Adott szakaszokat és egy egységnyi hosszúságú szakaszt véve remélhetjük, hogy az egységet egész számú részre osztva olyan új egységet kapunk, amely szerint már összemérhető a két szakasz. A fenti példát véve, azt is mondjuk, hogy a két szakasz hosszaránya 2/11.

Az euklideszi geometria szakaszaira általában nem igaz, hogy található közös egység, mely egész számszor felmérhető mindkettőre. Másképp fogalmazva: általában nem igaz, hogy tetszőleges szakaszpár hosszaránya kifejezhető racionális szám formájában. Például, az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója és befogója ilyen szakaszok. Az euklideszi geometriában tehát léteznek inkommenzurábilis szakaszok.

Bizonyítás: indirekt módon, kétféleképpen is

Az első bizonyítás azon alapul, hogy vannak irracionális számok. Feltesszük, hogy a szóban forgó arány racionális és kimutatjuk, hogy ez a feltevés ellentmondásra vezet. Nyugodtan választhatjuk az átfogó hosszát egységnyire, hiszen, ha az átfogó és a befogók hosszaránya racionális, akkor ez az arány minden egyenlő szárú derékszögű háromszögre racionális, mert ezek a háromszögek hasonlóak és így oldalhosszarányuk azonos. Mármost, ha az oldalhossz egységnyi, akkor a Pitagorasz-tétel szerint az átfogó éppen a kettes szám négyzetgyöke. Valóban, éppen ezt mondja a Pitagorasz-tétel: az átfogók hosszának négyzetösszegét véve, ami jelen esetben kettő megkapjuk az átfogó négyzetét; ebből négyzetgyököt vonva az átfogó hossza adódik. Márpedig a kettő négyzetgyöke (az a szám, amelyet önmagával szorozva kettőt kapunk) nem racionális szám, nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként. Ennek az állításnak a bizonyítása a racionális számokról szóló cikkben található.

Az állítás tisztán geometriai eszközökkel is belátható.

 

A mellékelt ábra egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget mutat, melynek átfogójára és befogójára a bizonyítandó állítással ellentétben mégiscsak sikerült egy közös egységet ${\displaystyle a}$ -szor, ill. ${\displaystyle b}$ -szer pontosan felmérni. Legyen ez a felmért egység a lehető leghosszabb ilyen felmérhető egység. (Leghosszabb közös egység létezik, ha közös egység létezik egyáltalán hiszen, ha nem elég hosszú az egység, akkor nyújthatjuk, de nem akármeddig, mert egyszer csak túljutnánk a megmérendő hosszon is -- valahol tehát meg kell állnunk.) Most az átfogóra mérjünk fel ${\displaystyle a}$  egységet, vagyis a befogó hosszát. A maradék hossza ${\displaystyle b-a}$  egység. Az átfogóra felmért ${\displaystyle a}$  egység hosszú szakasz végpontjába állítsunk egy merőlegest, amely valahol metszi a vízszintes befogót. Vegyük észre a következőket: (1) a piros, a kék és a zöld szakaszok egyenlő, ${\displaystyle b-a}$  egység hosszúságúak, (2) a kis háromszög és a nagy háromszög hasonlóak, (3) a kis háromszög átfogója ${\displaystyle 2a-b}$  egység hosszúságú, vagyis a kis háromszög oldalaihoz is megfelelőnek látszik a használt egység. A kis háromszög méretét most arányosan a nagy háromszög méretére növelve azt kapjuk, hogy a lehető legnagyobbnak vélt közös egységből most kevesebb is elfér az oldalakon, mint gondoltuk. Ez ellentmondás. Ilyen egységek tehát nem létezhettek. Vagyis a befogó és az átfogó inkommenzurábilisek.

A pitagoreus iskola mélyen hitt abban, hogy minden, ami a valóságban létezik leírható számokkal. Mivel a görög matematika csak a racionális szám fogalmát ismerte ezért ez előbbi állítás, legalábbis a geometriai szakaszokra vonatkozóan azt fejezte ki, hogy bármely két szakasz hosszaránya racionális. A görögök érezték, hogy ez egy olyan tétel, amit bizonyítani kell. A fenti állításnak azonban éppen az ellenkezője bizonyosodott be, mint azt az előző szakaszban megmutattuk.

Kiderült, hogy inkommenzurábilis az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója és átfogója. A pitagoreus filozófia ezt megsemmisítő csapásként élte meg. A legszörnyűbb az lehetett, hogy a pitagoreusok a saját pályájukon veszítettek, a saját eszközeikkel győzte le őket a matematikai keretek közé szoríthatni vélt valóság. Létezik az, hogy a természetben van valami, ami nem szám? Ráadásul éppen a geometriában, ami a pitagoreus filozófia egyes számú gyakorlótere volt.

Lehetséges, hogy pitagoreusoknak igazuk volt és minden szám. A számfogalom azonban, amit használtak nem volt alkalmas egy olyan filozófia tudományos megalapozására, mely szerint minden szám. Ha minden szám is, nem feltétlenül racionális szám. Mindenesetre a legenda szerint a pitagoreusok szigorúan őrizték az inkommenzurábilis mennyiségek titkát. Állítólag vízbe fojtották azt az embert, aki kifecsegte a titkot. Olyan ez, mint az atomizmussal, mely szerint az anyag oszthatatlan részecskékből áll. Lehet, hogy ez így van, de ezek az oszthatatlan részecskék nem azonosak azokkal a fizikai létezőkkel, amelyeket először atomoknak, oszthatatlanoknak gondoltak.

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

Ez a filozófiai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!