Sinus

Sinus
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Period	2π
Specifične vrijednosti
Nule	kπ
Lok. maksimumi	((2k+1/2)π,1)
Lok. minimumi	((2k-1/2)π,-1)
Specifične osobine
Prijevoji	kπ
Ulazak u nulu pod kutom	π/4
Promjenjiva k je cijeli broj.

Sinus je trigonometrijska funkcija. Klasično, kutu α pridružujemo vrijednost sin(α) tako da nad datim kutom konstruiramo pravokutni trokut. Vrijednost sin(α) tada je jednaka kvocijentu (omjeru) nasuprotne katete i hipotenuze. No, kako je zbroj kutova u trokutu jednak 180°, jasno je da je takav pravokutni trokut moguće konstruirati samo nad šiljastim kutovima (kutovima manjim od 90°). Stoga se ovakva definicija sinusa može upotrijebiti jedino za kutove manje od 90°.

Za računanje vrijednosti sinusa kutova većih od 90° (ili manjih od 0°) potrebna je općenitija definicija. Više je načina da se općenitije definira funkcija sinusa, od definicije sinusa kao sume beskonačnog reda, do definicije funkcije sinusa kao rješenja određenih karakterističnih diferencijalnih jednadžbi.

Najčešći način šireg definiranja funkcije sinus jest onaj uz pomoć jedinične kružnice:^[1] u Kartezijevom koordinatnom sustavu nacrtamo jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu. Također, iz ishodišta povučemo pravac koji sa x-osi zatvara kut (na slici označen s t), te istaknemo točku u kojoj se taj pravac siječe s jediničnom kružnicom. Koordinate te točke daju nam vrijednosti dvije osnovne trigonometrijske funkcije; x koordinata jednaka je cos(t) (vrijednosti kosinusa), a y koordinata jednaka je sin(t) (vrijednosti sinusa). Na taj način definicija sinusa poopćena je za svaki kut.

Iz definicije je jasno da sinus (kao i kosinus) može poprimiti vrijednosti između -1 i 1, te da je definiran za sve realne brojeve. Stoga pišemo

${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to [-1,1]}$

Također, jasno je da funkcija sinus nije bijekcija; kut α i kut α+2π (kut koji dobijemo kada kutu α nadodamo "puni krug") daju istu vrijednost za sinus i za kosinus, pa funkcija nije injekcija. Stoga, općenito ne postoji inverz fukcije sinus. No ako se promotri suženje područja definicije (restrikcija) funkcije sinus, tj. ako funkciju sinus promotrimo samo na jednom dijelu područja njene definicije, tada sinus postaje bijekcija, a odgovarajuću inverznu funkciju nazivamo arkus sinus i obilježavamo s arcsin. Restrikcija funkcije sinus na kojoj je to moguće izvesti jest restrikcija na tzv. "glavnu granu", odnosno na funkciju

${\displaystyle \sin \colon [-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]}$