ניתוח שונות

	יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
	יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות ותוך שימוש באמצעים אינפוגרפיים. אם אתם סבורים כי הערך איננו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.	עריכה

בסטטיסטיקה, ניתוח שונות (באנגלית: Analysis of variance :ANOVA) הוא מושג המבטא קבוצה של מודלים סטטיסטיים שמטרתם לנתח את ההבדלים בין ממוצעים של קבוצות. קבוצת המודלים פותחה על ידי הסטטיסטיקאי רונלד פישר. ניתוח שונות חד-כיווני (One way ANOVA), מבוצע כשמדובר על משתנה בלתי תלוי אחד בלבד. ניתוח שונות דו כיווני (Two way ANOVA), כשמדובר על שני משתנים בלתי תלויים. ניתוח שונות תלת כיווני (Three way ANOVA) משמש במצב בו נבדקים הבדלים בין קבוצות כשיש שלושה משתנים בלתי תלויים וכן הלאה. יש לציין כי המילה חד דו תלת וכו' מתייחסת למספר המשתנים הבלתי תלויים. כל ניתוח שונות נעשה על משתנה תלוי אחד בלבד.

מנהלת בית ספר רוצה לבחון את רמת שביעות הרצון בקרב קבוצות שונות בבית הספר. היא בודקת את ההבדלים בין מדגם של אבות ומדגם של אימהות בבית הספר ברמת שביעות הרצון. ממוצע שביעות הרצון של האבות נמצא 5.2 מתוך 7 ואילו זה של האימהות נמצא 4.8. האם היא יכולה להסיק שאבות שבעי רצון יותר מאימהות? או שמא ההבדל בין הקבוצות הוא מקרי משום שמדובר במדגם? כדי לבחון האם הבדל בין ממוצעים של שתי קבוצות מובהק סטטיסטית, יש לבצע מבחן t למדגמים בלתי תלויים או ניתוח שונות חד-כיווני. כדי לבחון הבדל בין ממוצעי שביעות הרצון של שלוש קבוצות, או יותר, למשל ההבדל בין הורי כיתות א ב ו ג, היא תצטרך לבצע ניתוח שונות חד כיווני. כדי לבחון הבדל בין קבוצות המתייחס לשני משתנים בלתי תלויים (למשל מגדר ההורים וכיתת הילד) יש לבצע ניתוח שונות דו-כיווני. שוב, יש להדגיש כי כל ניתוח שונות נעשה על משתנה תלוי אחד בלבד (למשל בדוגמה שביעות הרצון). אם למשל המנהלת מדדה גם את רמת המעורבות של ההורים. בדיקת ההבדל בין אבות ואימהות במשתנה זה יעשה באמצעות ניתוח שונות חד כיווני נפרד.

ניתוח שונות חד כיווני (אנ') הוא מבחן סטטיסטי המשווה אם הממוצעים של שתי קבוצות או יותר שונים זה מזה. בדרך־כלל, המבחן מבוצע רק כאשר יש שלוש קבוצות או יותר, זאת משום שכאשר יש רק שתי קבוצות, מקובל לבצע מבחן t.

נניח כי ישנן k קבוצות שונות שנרצה להשוות ביניהן. בכל קבוצה יש ${\displaystyle n_{i}}$ תצפיות, כך שהתצפית ${\displaystyle Y_{i,j}}$ היא התצפית ה-j בקבוצה ה-i.

אזי המודל מניח כי התצפיות בקבוצה ה-i מתפלגות נורמלית סביב תוחלת השווה ל- ${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$, בסטיית תקן ${\displaystyle \sigma }$. בכתיב מקוצר: ${\displaystyle Y_{ij}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2})}$ כלומר לכל קבוצה תוחלת שונה.

אפשר גם לפרק את הביטוי כך שנגדיר גורם של רעש המתפלג נורמלית סביב האפס, בסטיית תקן של ${\displaystyle \sigma }$, ונוסיף אותו לתוחלת הקבוצה. בכתיב מקוצר נאמר ${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\varepsilon _{i,j}}$, כאשר ${\displaystyle \varepsilon _{i,j}\sim N(0,\sigma ^{2})}$.

השערות המבחן

עבור השערת האפס, לא נניח הבדל בין תוחלות הקבוצות.

כלומר:

${\displaystyle H_{0}:\alpha _{1}=\ldots =\alpha _{k};}$

ועבור השערת H1 אחרת מכך.

${\displaystyle H_{1}:otherwise}$

התפלגות הממוצעים היא: ${\displaystyle {\overline {Y}}_{i}\sim N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2}/n_{i})}$

ומכאן שהתפלגות ממוצע כלל הדגימות:

${\displaystyle {\overline {Y}}\sim N(\mu +\sum _{i=1}^{k}{n_{i}\cdot \alpha _{i}}/N,\sigma ^{2}/N)}$.

נגדיר את סכומי הריבועים הבאים: עבור כל קבוצה i: ${\displaystyle SS_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}(y_{i,j}-{\overline {Y}}_{i})^{2}}$

ובהתאם נגדיר: ${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{k}SS_{i}}$ (סכום הריבועים בתוך הקבוצות)

סכום הריבועים בין הקבוצות:${\displaystyle SSB=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot ({\overline {Y}}_{i}-{\overline {Y}})^{2}}$ וסה"כ סכומי הריבועים: ${\displaystyle SST=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}(Y_{i,j}-{\overline {Y}})^{2}}$

מפיתוח מתמטי נגיע לקשר ${\displaystyle SST=SSW+SSB}$

ערך מורחב – מבחן F

תחת השערת האפס, ${\displaystyle {\frac {MSB}{MSW}}={\frac {\left({\frac {SSB}{K-1}}\right)}{\left({\frac {SSW}{N-K}}\right)}}\sim F_{k-1,N-k}}$ כאשר F זוהי התפלגות F.

אם מבחן ניתוח השונות מצביע על כך שהאוכלוסיות שונות זו מזו, עולה השאלה בין אילו זוגות של אוכלוסיות יש הבדל מובהק. בשאלה זו עוסקים מבחן LSD של פישר (אנ'), מבחן הטווח של טוקי (אנ') ומבחנים נוספים.

ניתוח שונות דו כיווני (אנ') מתאים למצב בו מערך המחקר כולל שני משתנים בלתי תלויים ומשתנה תלוי אחד. לדוגמה, האם כוונת רכישה (משתנה תלוי) קשורה לאופן הפנייה לצרכנים (משתנה בלתי תלוי) ולתפיסת עולמם (משתנה בלתי תלוי). חוקרת העבירה לנחקרים תיאור של אותו מוצר בדיוק כשלמחצית הפניה בפרסומת הייתה בלשון יחיד (אתה) ולמחצית היא הייתה בלשון רבים (אתם). החוקרת בדקה גם אם הנחקר אינדיבידואליסט או קולקטיביסט. לאחר קריאת הפרסומת, הנחקר התבקש לציין מה הסיכוי שהוא ירכוש את המוצר. סוג הניתוח הסטטיסטי המתאים במקרה זה הוא ניתוח שונות דו-כיווני. בלוח מופיעים ממוצעי הקבוצות במשתנה התלוי (הסיכוי לרכוש) על פי שני המשתנים הבלתי תלויים.

ניתוח שונות דו כיווני מאפשר לבדוק שני סוגים של שאלות:

• אפקט עיקרי (Main effect) - האם המשתנה הבלתי תלוי (סוג הפניה או תפיסת העולם) קשור למשתנה הבלתי תלוי (כוונת הרכישה).
• אינטראקציה (Interaction (statistics)) - האם אחד המשתנים הבלתי תלויים ממתן (אנ') את עוצמת הקשר בין המשתנה הבלתי תלוי השני לבין המשתנה התלוי.

מדיה וקבצים בנושא ניתוח שונות בוויקישיתוף

• ניתוח שונות, באתר MathWorld (באנגלית)
• Why ANOVA, פרק ראשון מבין ארבעה בנושא ניתוח שונות במסגרת הפודקאסט ״סטטיסטיקה מרפאת״, 8 באפריל 2021