Capacidade portante

As propiedades mecánicas dun terreo adoitan diferir fronte a cargas que varían (case) instantaneamente e cargas casepermanentes. Isto débese a que os terreos son porosos, e estes poros poden estar total ou parcialmente saturados de auga. En xeral, os terreos compórtanse de maneira máis ríxida fronte a cargas de variación caseinstantánea xa que estas aumentan a presión intersticial, sen producir o desaloxo dunha cantidade apreciable de auga. En cambio, baixo cargas permanentes, a diferenza de presión intersticial entre diferentes partes do terreo produce a drenaxe dalgunhas zonas.

No cálculo ou comprobación da capacidade portante dun terreo sobre o que existe unha construción debe atenderse ao curto prazo (caso sen drenaxe) e ao longo prazo (con drenaxe). No comportamento a curto prazo desprézanse todos os termos excepto a cohesión última, mentres que na capacidade portante a longo prazo (caso con drenaxe) é importante tamén o rozamento interno do terreo e o seu peso específico.

Karl von Terzaghi (1943) propuxo unha sinxela fórmula para a carga máxima que podería soportar unha cimentación continua con carga vertical centrada,^[1] apoiada sobre a superficie dun solo dada por:

(1)

${\displaystyle {\frac {p_{u}}{b}}=qN_{q}+cN_{c}+{\frac {\gamma b}{2}}N_{\gamma }}$ 

Onde:

${\displaystyle p_{u}\,}$ , carga vertical máxima por unidade de lonxitude.

${\displaystyle q\,}$ , sobrecarga sobre o terreo adxacente á cimentación.

${\displaystyle c\,}$ , cohesión do terreo.

${\displaystyle b\,}$ , ancho transversal da cimentación

${\displaystyle \gamma \,}$ , peso específico do terreo.

${\displaystyle N_{q}(\varphi ),N_{c}(\varphi ),N_{\gamma }(\varphi )\,}$ , coeficientes dependentes do ángulo de rozamento interno, para as que Terzaghi suxeriu algunhas aproximacións particulares, como por exemplo ${\displaystyle N_{c}\approx 5.0}$ .

Anteriormente Prandtl (1920) resolvera o problema para unha cimentación de lonxitude infinita e ancho b sobre un terreo arxiloso con ángulo de rozamento nulo e peso desprezable, obtendo:

${\displaystyle (N_{c},N_{q},N_{\gamma })=(2+\pi ,1,1)\quad \Rightarrow \quad {\frac {p_{u}}{b}}=(2+\pi )c+q}$ 

A fórmula de Terzaghi xeneraliza o cálculo de Prandt para a capacidade portante a curto prazo. A fórmula (1) é aplicable tanto a longo prazo como a curto prazo:

• Capacidade portante a curto prazo ou non-drenada. Neste caso pódese tomar ${\displaystyle N_{q}\approx 1}$  e pódese desprezar o peso do terreo, pero debe tomarse como cohesión como a resistencia ao corte non drenada ${\displaystyle c=c_{\bar {D}}}$ .
• Capacidade portante a longo prazo ou drenada. Neste caso tómase a cohesión como resistencia ao corte drenada, e debe considerarse as variables como función do ángulo de rozamento interno.

A fórmula de Prandtl foi mellorada por Skempton^[2] para ter en conta a lonxitude finita (L) das cimentacións rectangulares reais, e o feito de que se encontran a unha profundidade finita (D), a fórmula Skempton é:

(2)

${\displaystyle p_{u}\approx 5c\left(1+0.2{\frac {b}{L}}\right)\left(1+0.2{\frac {D}{L}}\right)+q}$ 

A fórmula obtida polo enxeñeiro danés J. Brinch Hansen é unha xeneralización que inclúe como casos particulares a fórmula de Terzaghi e a fórmula de Skempton. Esa fórmula inclúe ademais dos efectos de forma e profundidade considerados elementalmente por Skempton os factores de inclinación da carga, usando unha fórmula de maior rango de aplicabilidade. A expresión Brinch-Hansen (1961) é:^[3]

(3)

${\displaystyle p_{u}={\frac {\gamma b}{2}}N_{\gamma }s_{\gamma }d_{\gamma }i_{\gamma }+qN_{q}s_{q}d_{q}i_{q}+cN_{c}s_{c}d_{c}i_{c}}$ 

Onde ${\displaystyle N_{\gamma },N_{q},N_{c};b,c,\gamma \,}$  teñen os mesmos significados que na Fórmula de Terzaghi e o resto de parámetros son funcións do ángulo de rozamento interno:

${\displaystyle s_{\gamma },s_{q},s_{c}\,}$  son os factores de forma.

${\displaystyle d_{\gamma },d_{q},d_{c}\,}$  son os factores de profundidade.

${\displaystyle i_{\gamma },i_{q},i_{c}\,}$  son os factores de inclinación da carga.

Para os parámetros ${\displaystyle N_{j}=N_{j}(\varphi )}$  Brinch Hansen propuxo as seguintes expresións en termos de ángulo de rozamento interno:

${\displaystyle N_{q}=e^{\pi \tan \varphi }\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right);\qquad N_{c}={\frac {N_{q}-1}{\tan \varphi }};\qquad N_{\gamma }=(2N_{q}+1)\tan \varphi }$ 

O resto de factores adicionais da fórmula (3) explícanse a continuación.

Para os factores de forma para unha cimentación rectangular ${\displaystyle b\times L}$  tense:

(4)

${\displaystyle s_{q}=1+{\frac {b}{L}}\tan \varphi ;\qquad s_{c}=1+{\frac {N_{q}}{N_{c}}}{\frac {b}{L}};\qquad s_{\gamma }\approx 1-{\frac {1}{2}}(0.2+\tan ^{6}\varphi ){\frac {b}{L}}\approx 1-0.4{\frac {b}{L}}}$ 

Os factores de profundidade cando entre a base de cimentación e a superficie do terreo existe unha distancia vertical D, veñen dados polas expresións:

(5)

${\displaystyle d_{q}=1+2\tan \varphi (1-\sin \varphi )^{2}{\frac {D}{b}};\qquad d_{c}=d_{q}+{\frac {1-d_{q}}{N_{c}\tan \varphi }};\qquad d_{\gamma }=1}$ 

Para estes factores, Binch Hansen proporcionou ecuacións exactas que requiría resolver a ecuación trigonométrica complexa para α:

${\displaystyle \tan \left(\alpha +{\frac {\varphi }{2}}\right)=-{\frac {\tan \delta -{\sqrt {1-{\cfrac {\tan ^{2}\delta }{\tan ^{2}\varphi }}}}}{1+{\cfrac {\tan \delta }{\sin \varphi }}}}}$ 

E onde δ se deduce do diagrama de rotura pertinente.^[4][5] A expresión do primeiro factor de inclinación vén dado por:

${\displaystyle i_{q}={\frac {1+\sin \varphi \sin(2\alpha -\varphi )}{1+\sin \varphi }}e^{(\pi /2+\varphi -2\alpha )\tan \delta }\approx \left(1-{\frac {H}{V+cLb\cot \varphi }}\right)^{2}}$ 

Onde:

${\displaystyle H,V\,}$  son as compoñentes horizontal e vertical da carga,

${\displaystyle c,\varphi \,}$  a cohesión do terreo e o seu ángulo de rozamento interno,

${\displaystyle L,b\,}$  son as dimensións rectangulares do alicerce.

Os outros dous factores de inclinación da carga son simplemente:

${\displaystyle i_{c}=i_{q}-{\frac {1-i_{q}}{N_{c}\tan \varphi }};\qquad i_{\gamma }=i_{q}^{3/2}}$ 

A fórmula de Binch-Hansen (5) xeneraliza a fórmula de Terzaghi (3). É igualmente aplicable tanto a longo prazo como a curto prazo:

• Capacidade portante a longo prazo ou drenada. Neste caso tómase a cohesión como resistencia ao corte drenada, e debe considerarse as variables como función do ángulo de rozamento interno.
• Capacidade portante a curto prazo ou non-drenada. Neste caso pódese tomar ${\displaystyle \varphi \approx 0}$  e pódese desprezar o peso do terreo, pero debe tomarse como cohesión como a resistencia ao corte non drenada ${\displaystyle c=c_{\bar {D}}}$ . As expresións no caso non-drenado son consderablemente máis simples ao non intervir nelas o ángulo de rozamento interno.