Altura (magnitude)

 

A altura máxima nun tiro parabólico pode calcularse partindo da ecuación da velocidade do tiro parabólico na súa compoñente vertical.

Para os cálculos nun tiro parabólico destas características, tómase coma vector de posición inicial o da posición de tiro, e polo tanto:

${\displaystyle r_{0x}=0\,}$  (1) e ${\displaystyle r_{0y}=0\,}$  (2)

Ademais, a descomposición do vector da velocidade inicial permite saber que:

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\,\sin \alpha }$  (3) e ${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\,\cos \alpha }$  (4)

forzas verticais e non horizontais.

Dado que, partindo dunha velocidade inicial ascendente, é o punto máis alto e onde comeza a descender, cando chega á altura máxima o obxecto ten velocidade nula e polo tanto pódese calcular despexando o tempo que tarda en chegar a ese punto:

${\displaystyle v_{y}=v_{0y}+a\,t=v_{0y}-g\,t=0\Rightarrow g\,t=v_{0y}\Rightarrow t={\frac {v_{0y}}{g}}={\frac {v_{0}\,\sin \alpha }{g}}}$ 

facendo un último paso en función da ecuación (3).

Este é o tempo que se tarda en acadar a altura máxima, e polo tanto pódese substituír na ecuación da posición vertical da partícula. Neste caso para a posición vertical, como xa se dixo (1), colócase o centro do sistema de coordenadas coincidindo co punto de lanzamento inicial, e polo tanto ${\displaystyle r_{0y}=0\,}$ :

${\displaystyle r_{y}=r_{0y}+v_{0y}\,t+{\frac {1}{2}}\,a\,t^{2}=0+v_{0y}\,{\frac {v_{0y}}{g}}-{\frac {g}{2}}\,\left({\frac {v_{0y}}{g}}\right)^{2}=}$ 

${\displaystyle ={\frac {v_{0y}^{2}}{g}}-{\frac {g}{2}}\,{\frac {v_{0y}^{2}}{g^{2}}}={\frac {2\,v_{0y}^{2}}{2\,g}}-{\frac {v_{0y}^{2}}{2g}}={\frac {2\,v_{0y}^{2}-v_{0y}^{2}}{2\,g}}={\frac {v_{0y}^{2}}{2\,g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}\alpha }{2\,g}}}$ 

Para a posición horizontal tamén se fai unha simple substitución do valor do tempo na ecuación do vector horizontal, sabendo que a posición inicial e a aceleración nesa dirección son nulas:

${\displaystyle r_{x}=r_{0x}+v_{0x}\,t+{\frac {1}{2}}\,a\,t^{2}=0+v_{0x}\,t+0=v_{0x}\,{\frac {v_{0y}}{g}}}$ 

e substituíndo a descomposición das compoñentes das velocidades en función das ecuacións (3) e (4):

${\displaystyle v_{0x}\,{\frac {v_{0y}}{g}}=v_{0}\,\cos \alpha \,{\frac {v_{0}\,\sin \alpha }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin \alpha \,\cos \alpha }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\,2\,\sin \alpha \,\cos \alpha }{2\,g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin 2\alpha }{2\,g}}}$ 

que, como se pode comprobar comparando cos resutados do alcance, é a metade da distancia horizontal que se acada no máximo desprazamento horizontal.

• Alcance
• Tiro parabólico