Sección e retracción (teoría das categorías)

Na teoría das categorías, unha sección é a inversa pola dereita dalgún morfismo. Dualmente, unha retracción é unha inversa pola esquerda dalgún morfismo. Noutras palabras, se ${\displaystyle f:X\to Y}$ e ${\displaystyle g:Y\to X}$ son morfismos cuxa composición ${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$ é o morfismo de identidade ${\displaystyle Y}$, entón ${\displaystyle g}$ é unha sección de ${\displaystyle f}$, e ${\displaystyle f}$ é unha retracción de ${\displaystyle g}$.^[1]

Cada sección é un monomorfismo (todo morfismo cunha inversa pola esquerda é cancelativo pola esquerda), e toda retracción é un epimorfismo (todo morfismo cunha inversa pola dereita é cancelativo pol dereita).

En álxebra, as seccións tamén se denominan monomorfismos divididos e as retraccións tamén se denominan epimorfismos divididos. Nunha categoría abeliana, se ${\displaystyle f:X\to Y}$ é un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido ${\displaystyle g:Y\to X}$, entón ${\displaystyle X}$ é isomorfo á suma directa de ${\displaystyle Y}$ e o kernel de ${\displaystyle f}$.

• Unha sección que tamén é un epimorfismo é un isomorfismo. Dualmente unha retracción que tamén é un monomorfismo é un isomorfismo.

O concepto de retracción na teoría de categorías provén da noción esencialmente similar de retracción en topoloxía: ${\displaystyle f:X\to Y}$ onde ${\displaystyle Y}$ é un subespazo de ${\displaystyle X}$ é unha retracción no sentido topolóxico, se é unha retracción do mapa de inclusión ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ no sentido da teoría das categorías. O concepto en topoloxía foi definido por Karol Borsuk en 1931.^[2]

Na categoría de conxuntos, todo monomorfismo (función inxectiva) cun dominio non baleiro é unha sección, e todo epimorfismo (función sobrexectiva) é unha retracción; esta última afirmación é equivalente ao axioma da escolla.

Na categoría de espazos vectoriais sobre un corpo K, cada monomorfismo e cada epimorfismo divídese; isto débese ao feito de que os mapas lineares poden ser definidos de forma única especificando os seus valores nunha base.

Na categoría dos grupos abelianos, o epimorfismo Z → Z/2Z que envía cada número enteiro ao seu resto módulo 2 non se divide; de feito o único morfismo Z/2Z → Z é o mapa cero. Do mesmo xeito, o monomorfismo natural Z/2Z → Z/4Z non se divide aínda que haxa un morfismo non trivial Z/4Z → Z/2Z.

O concepto categórico de sección é importante na álxebra homolóxica, e tamén está intimamente relacionado coa noción de sección dun fibrado en topoloxía: neste último caso, unha sección dun fibrado é unha sección do fibrado do mapa de proxección do fibrado.

Dado un espazo cociente ${\displaystyle {\bar {X}}}$ con mapa cociente ${\displaystyle \pi \colon X\to {\bar {X}}}$, unha sección de ${\displaystyle \pi }$ chámase transversal.

Sexan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ dúas categorías e ${\displaystyle F}$ sexa un functor covariante de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Entón, se ${\displaystyle u}$ é unha sección (resp. unha retracción) de ${\displaystyle v}$, a frecha ${\displaystyle F(u)}$ é unha sección (resp. unha retracción) de ${\displaystyle F(v)}$^[3].

• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the working mathematician (2nd ed.). Springer Verlag. 
• Barry, Mitchell (1965). Theory of categories. Academic Press. 

• Lema de separación
• Función inversa § Inversas pola dereita e pola esquerda