Surface implicite

• L'exemple le plus élémentaire est sans nul doute l'exemple des plans affines. Si l est une forme linéaire sur ${\displaystyle R^{3}}$ , alors ${\displaystyle l:R^{3}\rightarrow R}$  est une application différentiable et tout réel est une valeur régulière de l. Pour r donné, ${\displaystyle \{l=r\}}$  est une surface implicite de ${\displaystyle R^{3}}$ .

• Autre exemple élémentaire, si ${\displaystyle q}$  est une forme quadratique non dégénérée de ${\displaystyle R^{3}}$ , alors toute valeur non nulle est une valeur régulière de q :
  • Si q est définie positive, alors pour ${\displaystyle r<0}$ , la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$  est vide ; et pour ${\displaystyle r>0}$ , ${\displaystyle \{q=r\}}$  est une sphère.
  • Si q est non définie, de signature ${\displaystyle (2,1)}$ , la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$  est un hyperboloïde à une ou deux nappes suivant le signe de r.

• La trompette de Gabriel est définie par la relation implicite :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})z^{2}=a^{4}}$  avec a non nul.

La trompette de Gabriel est une surface de révolution.

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  Surface implicite d'un tore (R=40, a=15)
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  Surface implicite de genre 2

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  Surface implicite non algébrique (wineglas)
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  equipotential surface of 4 point charges

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  metamorphoses between two implicit surfaces (torus and a constant distance product surface)
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  approximation of three tori (parallel projection)

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  Image PovRay (central projection) of an approximation of three tori
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  Image PovRay : metamorphoses between a sphere and a constant distance product surface (6 points)

• Marie-Paule Cani

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