Statistique descriptive

L'objectif de la statistique descriptive est de décrire, c'est-à-dire de résumer ou représenter, par des statistiques, les données disponibles quand elles sont nombreuses^[1].

Toute description d'un phénomène nécessite d'observer ou de connaître certaines choses sur ce phénomène.

• Les observations disponibles sont toujours constituées d'ensemble d'observations synchrones. Par exemple : une température, une pression et une mesure de densité à un instant donné dans une cuve précise. Ces trois variables synchrones peuvent être observées plusieurs fois (à plusieurs dates) en plusieurs lieux (dans plusieurs cuves).
• Les connaissances disponibles sont quant à elles constituées de formules qui relient certaines variables. Par exemple, la loi des gaz parfaits ${\displaystyle PV=nRT}$ .

Il est assez compliqué de définir la meilleure description possible d'un phénomène. Dans le cadre des statistiques, il s'agira de fournir toute l'information disponible sur le phénomène en moins de chiffres et de mots possibles.

Typiquement, la loi des gaz parfaits est une très bonne description du phénomène constitué du comportement d'un gaz en état d'équilibre dont on n'observe que la pression, la température et le volume. La valeur de la constante ${\displaystyle R}$  peut alors être vue comme une statistique associée à cette description.

La question de la description visuelle se pose aussi, mais nous la mettrons provisoirement de côté. L'article Visualisation des données y répond plus directement.

Le point de vue statistique sur la description d'un phénomène provient de ce que l'on considère que les observations disponibles sont différentes manifestations du même phénomène abstrait. Pour rester sur l'exemple de la température, la pression et la densité mesurées en plusieurs instants, on va considérer qu'à chaque fois que l'on prend ces trois mesures, on observe le même phénomène. Les mesures ne seront pas exactement les mêmes ; c'est la répartition de ces mesures que nous allons décrire statistiquement.

 

Si on mesure de temps à autre la pression, la température et la densité d'un gaz présent dans une cuve, on obtient une collection de triplets de données, indexés par l'instant de mesure.

Dans le domaine médical, on peut par exemple mesurer le poids avant et après la prise d'un médicament pour plusieurs personnes. On obtient alors une collection de couples de données (poids avant et après) indexés par le nom de la personne.

En sociologie ou en marketing on peut mesurer le nombre de livres lus par an pour de nombreuses personnes, dont on connait par ailleurs l'âge et le niveau d'étude. Ici aussi on obtient une collection de triplets de données, indexés par le nom du lecteur.

Les différentes grandeurs mesurées sont appelées des variables.

L'étude statistique nécessite que l'on prenne comme hypothèse qu'il existe un phénomène abstrait plus ou moins caché qui met en œuvre ces variables (et peut-être d'autres).

Chaque valeur de l'index (qui peut être une date, ou un numéro identifiant un individu), identifie alors une photographie partielle du phénomène. On appelle les valeurs des variables pour un indice donné des observations ou une réalisation du phénomène.

D'un point de vue formel, on pose le principe que le phénomène abstrait peut comporter des éléments déterministes comme des éléments aléatoires (on dit aussi stochastiques). L'ensemble des variables observées sont alors juxtaposées sous la forme d'un vecteur de données. Il n'y a plus alors qu'une seule variable (mais qui est multi variée).

Les observations sont alors bien des réalisations (au sens des statistiques mathématiques) de cette variable aléatoire multi variée.

Commençons par la situation la plus simple : celle de l'observation d'une seule variable (par exemple la pression dans une cuve, ou bien le nombre de livres lus par an pour une personne). Comme nous l'avons vu plus haut, nous prenons comme hypothèse qu'il existe un phénomène dont cette variable fait partie, que ce phénomène est peut-être en partie aléatoire. Cette partie aléatoire implique que la variable observée est issue d'une variable abstraite soumise en partie à un aléa inconnu.

Les observations dont nous disposons sont alors des réalisations de cette variable aléatoire abstraite.

L'objectif des statistiques descriptives dans ce cadre est de résumer au mieux cette collection de valeurs en prenant éventuellement appui sur notre hypothèse (l'existence d'une loi aléatoire abstraite derrière tout cela).

Si nos observations sont le succès ou l'échec de 23 sportifs à une épreuve de saut en hauteur. Il s'agira d'une série de "succès" (S), "échec" (E) indexé par le nom du sportif. Voici les données:

S, S, E, E, E, S, E, S, S, S, E, E, S, E, S, E, S, S, S, S, E, E, S

 

Sans réfléchir et en utilisant des critères statistiques, nous pouvons décider de décrire ce phénomène comme suit:

En attribuant un point à chacun des 23 sportifs lorsqu'il réussit son saut, et aucun lorsqu'il le rate, le nombre moyen de point gagné est 0,5652 et l'écart type des points gagné est 0,5069.

Il s'agit d'une description plutôt obscure, et on notera qu'elle comprend un peu moins de 200 caractères, alors que la liste des succès et échecs en compte moins de 50. Nous préfèrerons sans doute celle-ci:

23 sportifs ont sauté, 13 d'entre eux ont réussi.

Cette description est simple, claire et courte (moins de 50 caractères).

Il est aussi tout à fait possible d'en faire une description qui détruit de l'information, par exemple celle-ci:

En attribuant un point à chaque sportif lorsqu'il réussit son saut, et aucun lorsqu'il le rate, le nombre moyen de point gagné est 0,5652

En effet, il manque au moins le nombre de sauteurs, qui est un élément descriptif important.

Bien entendu, si on cherche à décrire un phénomène particulier, comme celui-ci si j'avais parié sur un des 23 sauteurs, quelles chances avais-je de gagner?, la réponse aurait été différente:

57 %

beaucoup plus courte, et ne détruisant aucune information au vu de la question. Il ne s'agissait plus alors de décrire les réalisations du phénomène sans point de vue particulier, mais avec un angle bien précis. On décrit en réalité un autre phénomène (celui des paris).

Il est donc très important de bien répondre à la question posée, et de ne pas appliquer des formules toutes faites sans réfléchir.

Intéressons-nous en dernier lieu à une autre question : Si je devais parier lors d'une prochaine épreuve de saut, quelles seraient mes chance de gain?

Nous pourrions répondre 57 %, comme pour la question précédente, mais après tout, nous n'avons observé que 23 sauteurs; est-ce suffisant pour en tirer une conclusion sur les performances d'autres sauteurs?

Afin d'apporter tout de même une réponse, précisons la principale hypothèse que nous allons utiliser:

Hypothèse : la nature des performances des sauteurs sera la même que celle observée.

Cela veut dire que si cette compétition était nationale, la seconde le sera aussi: on ne va pas utiliser des observations issues d'un phénomène de niveau national avec le même phénomène, mais de niveau olympique par exemple.

Et même dans ce cadre, si par exemple nous n'avions observé que deux sauteurs, qui avaient tous deux réussi, cela voudrait-il dire que tous les sauteurs de niveau national réussissent toujours (c'est-à-dire que j'ai une chance de gain de 100 %) ? Bien sûr que non.

Nous devons alors recourir à la notion d'intervalle de confiance : le but est de rendre compte de la taille de notre échantillon de sportifs, conjugué à certaines hypothèses probabilistes.

En l'occurrence, les statistiques mathématiques nous disent qu'un estimateur de proportion calculé à partir de ${\displaystyle N}$  observations suit une loi normale de variance ${\displaystyle p(1-p)/N}$  autour de la proportion théorique ${\displaystyle p}$ . Dans notre cas : ${\displaystyle N=23}$  et ${\displaystyle p=0,57}$ . Ceci nous apprend que sous notre hypothèse, il y a une probabilité de 95 % que notre chance de gain soit entre ${\displaystyle 57\%-1,96{\sqrt {57\%\times 43\%/23}}}$  et ${\displaystyle 57\%+1,96{\sqrt {57\%\times 43\%/23}}}$ . La réponse est donc finalement :

Il y a 95 % de chances que la probabilité de gagner notre pari lors d'une rencontre similaire soit comprise entre 36 et 77 %

Il existe finalement toute une collection de statistiques que l'on peut utiliser à des fins descriptives. Il s'agit de critères qui quantifient différentes caractéristiques des observations :

• sont-elles centrées autour d'une valeur ?
• sont-elles groupées autour de certaines valeurs ?
• parcourent-elles de larges plages de valeurs possibles ?
• suivent-elles des lois statistiques connues?
• etc.

Sans a priori sur la question qui nous est posée, nous pouvons passer en revue ces différents indicateurs descriptifs.

Sans aucun a priori sur la question que l'on se pose, quelques statistiques simples permettent de décrire les observations :

• la moyenne ;
• la médiane ;
• le mode ;
• le maximum ;
• le minimum ;
• l'écart type (et la variance) ;
• les quartiles.

Les trois premiers sont souvent nommés critères de position, et les autres entrent plutôt dans la catégorie des critères de dispersion.

La moyenne arithmétique est la somme des valeurs de la variable divisée par le nombre d'individus : ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ 

La médiane est la valeur centrale qui partage l'échantillon en deux groupes de même effectif : 50 % au-dessus et 50 % en dessous. La médiane peut avoir une valeur différente de la moyenne. En France (et d'ailleurs dans la plupart des pays), le salaire médian est inférieur au salaire moyen : il y a beaucoup de smicards et peu de gros salaires. Cependant, les gros salaires tirent la moyenne vers le haut.

En général, une médiane est, dans une série ordonnée, une valeur M telle qu'il y ait autant de valeurs supérieures ou égales à M que de valeur inférieures ou égales à M. Exemples :

        1 3 5 7 9 la médiane est 5

        5 5 6 6 8 8 la médiane est égale à (6+6)/2=6

Le mode correspond à la réalisation la plus fréquente.

Le mode d'une série, ou dominante d'une loi, est la valeur de la variable (ou de l’unité statistique) qui revient le plus fréquemment dans la série. C'est la valeur centrale de la classe qui a le plus grand effectif.

Ex : Soit la série {8,4,4,3,4,3,8,2,5} La valeur la plus fréquente de cette série est 4. Le mode est donc égal à 4. L'effectif associé à ce mode est 3.

Il est l'indice le plus simple à déterminer puisqu'il suffit de lire un graphique ou de regarder le tableau des effectifs.

La variance empirique corrigée ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$  pour le carré de l'écart type (ou variance) :${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {X}})^{2}}$ 

Attention : la variance (notion de statistique descriptive) égale est la simple moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne arithmétique observée, mais la variance sans biais (notion de statistique mathématique, qui signifie qu'en moyenne la valeur empirique est égale à la valeur théorique) est ${\displaystyle n/(n-1)}$  fois la variance observée. La variance sans biais est donc supérieure à la variance observée.

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{X}}$  : c'est la racine carrée de la variance

• Coefficient de variation : ${\displaystyle C.V.={\frac {\sigma }{\bar {x}}}}$ 

• Étendue : c'est l'intervalle entre la plus petite et la plus grande valeur. On dit d'un phénomène qu'il présente une « forte dynamique » lorsque l'étendue (ou la dispersion) est grande.

Le théorème central limite garantit que la moyenne estimée ${\displaystyle {\bar {X}}}$  est à une distance plus petite que ${\displaystyle d}$  de la moyenne théorique ${\displaystyle E(X)}$  avec une probabilité proche de ${\displaystyle P({|Y|{\hat {\sigma }}_{X} \over {\sqrt {n}}}<d)}$ , où ${\displaystyle Y}$  suit une loi gaussienne standard. Cela veut aussi dire que (${\displaystyle q_{\alpha }}$  est le quantile correspondant à ${\displaystyle \alpha }$  pour une gaussienne):

${\displaystyle P\left(E(X)\in \left[{\bar {X}}-q_{\alpha }{\sigma _{X} \over {\sqrt {n}}},{\bar {X}}+q_{\alpha }{\sigma _{X} \over {\sqrt {n}}}\right]\right)=1-\alpha }$ 

Par conséquent, lorsque la taille de l'échantillon ${\displaystyle n}$  augmente linéairement, la précision de l'estimateur de la moyenne augmente en ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$ .

Quand l'ensemble de ${\displaystyle n}$  points ne constitue pas un échantillon de la population, mais la population totale, la variance sans biais n'a pas à être utilisée, puisque l'on n'est plus dans un contexte d'estimation mais de mesure.

Les quantiles est une généralisation de la notion de médiane qui divise la loi en deux parties égales. On définit notamment les quartiles, déciles et centiles (ou percentiles) sur la population, ordonnée dans l'ordre croissant, que l'on divise en 4, 10 ou 100 parties de même effectif.

On parlera ainsi du « centile 90 » pour indiquer la valeur séparant les premiers 90 % de la population des 10 % restants. Ainsi, dans une population de jeunes enfants, un enfant dont la taille est au-delà du centile 90, ou en deçà du centile 10, peut être l'objet d'un suivi particulier.

Même s'il est considéré souvent comme une représentation graphique, et qu'il a donc plus sa place dans une description des méthodes de Visualisation des données, l'histogramme est un hybride d'une représentation exhaustive des données et d'une description par recours à des lois statistiques.

 

La densité empirique d'une variable à valeurs discrètes est simplement constituée de la proportion des observations prenant chaque valeur.

Dans l'exemple des sportifs, la densité empirique de notre population est 57 % de succès et 43 % d'échecs. L'histogramme associé est très simple (cf image à gauche).

On appelle fonction de répartition empirique associée une série d'observations à valeur réelles ayant les valeurs ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{N}}$  la fonction suivante:

${\displaystyle F^{*}(v)={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {1} _{v\geq V_{n}}}$ 

Elle est une estimation de la probabilité que la valeur d'un événement du phénomène observé ait une valeur supérieure ou égale à ${\displaystyle v}$ .

Si on voulait en déduire la densité empirique associée aux observations, il faudrait dériver ${\displaystyle F^{*}(v)}$ . Étant donné que la dérivée d'une indicatrice (${\displaystyle \mathbf {1} _{v\geq V_{n}}}$ ) est une loi de Dirac, le résultat ne serait pas très utilisable.

Plusieurs alternatives sont possibles :

• utiliser un estimateur par noyaux, il s'agit d'implémenter la densité suivante:

${\displaystyle f^{*}(v)={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}K_{r}(v-V_{n})}$  où ${\displaystyle K}$  est une fonction noyau (de masse égale à un).

• approximer la densité par une fonction en escalier.

Un histogramme est la meilleure estimation par une fonction en escalier de la densité empirique. C'est-à-dire que l'intégrale de l'histogramme doit être la plus proche possible de ${\displaystyle F^{*}(v)}$ . Remarquons que l'intégrale de l'histogramme est une fonction continue affine par morceaux. D'un certain point de vue :

trouver la fonction continue affine par morceaux qui approxime le mieux la fonction de répartition empirique revient à caractériser totalement l'histogramme.

Dans ce cadre, le nombre de morceaux (de classes ou de barres) est un paramètre très important. Il faut recourir à un critère supplémentaire si on veut trouver sa meilleure valeur possible. On prend par exemple un critère d'information d'Akaike ou le critère d'information bayésien; il est aussi possible de recourir à un critère d'information ou d'entropie.

Par construction, les barres de l'histogramme ne sont donc pas nécessairement toutes de la même largeur.

•  
  (A) Un tirage aléatoire de points
•  
  (B) Un histogramme associé

 

L'histogramme est une des nombreuses représentations graphiques de données statistiques possibles. Comme les quantiles, l'histogramme découpe la population en classes mais le point de vue est différent.

Avec les quantiles, le but est de localiser les frontières entre classes de même effectif. Ils sont souvent utilisés, par exemple en matière de revenus, pour comparer les deux classes extrêmes.

Pour les histogrammes, les largeurs de classes sont choisies afin de rendre le mieux possible compte de la loi réelle des observations. Il s'agit d'une tâche difficile.

Pour plus de simplicité, les classes des histogrammes sont parfois pris de même largeur et de hauteur variable : on appelle de tels histogrammes des diagrammes en barres. Ce ne sont pas de véritables histogrammes.

 

Il est possible de comparer la distance entre ces deux courbes.

• par exemple en utilisant le Test de Kolmogorov-Smirnov
• où en remarquant que la distance entre ces deux courbes (définie par la surface entre elles) suit une loi du ${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}}$ .

En allant plus loin, ce genre de méthode de comparaison de fonctions de répartition (ici entre celles issues de l'histogramme et la loi empirique) peut être utilisé pour comparer la répartition empirique de nos observations à celle d'une loi connue (c'est par exemple le principe de la Droite de Henry). Cela permet de répondre à la question ma répartition ressemble-t-elle à une loi connue ?.

Il s'agit de comparer la loi d'observations à une loi statistique connue.

Si on identifie une loi connue (par exemple une gaussienne) dont la répartition est statistiquement indiscernable de notre loi empirique, nous avons un très bon moyen de résumer l'information : qu'y a-t-il de plus descriptif qu'une phrase du genre mes observations sont réparties comme une loi normale de moyenne 0 et d'écart type 0.2 ?

Le principe est le même que pour une seule variable, sauf que toutes les caractéristiques (moyenne, mode, écart type, etc) sont bi variées (des vecteurs).

Il y a d'autre part une caractéristique supplémentaire : la corrélation. Elle est une mesure linéaire de la dépendance entre les différentes composantes de la variable multi variée.

Il existe d'autres mesures de dépendance entre deux variables, comme l'information mutuelle (ou l'entropie conditionnelle).

Au-delà des mesures, on peut aussi explorer les dépendances à l'aide d'outils graphiques ou de tableaux.

Le plus simple des tableaux possible est une disjonction. Lorsque nous avons deux variables ${\displaystyle V_{1}}$  et ${\displaystyle V_{2}}$ , observées par exemple en plusieurs instants ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{N}}$  (notons ${\displaystyle (V_{1}(t_{n}),V_{2}(t_{n}))}$  l'observation des deux variables à l'instant ${\displaystyle t_{n}}$ ), il est toujours possible de choisir un seuil ${\displaystyle V_{2}^{*}}$  sur la deuxième variable et de transformer notre échantillon ${\displaystyle (V_{1}(t_{n}),V_{2}(t_{n}))_{n}}$  en ${\displaystyle (V_{1}(t_{n}),V_{2}(t_{n})>V_{2}^{*})_{n}}$ . Nous formons alors deux groupes d'instants :

1. ceux pour lesquels la seconde variable est plus grande que ${\displaystyle V_{2}^{*}}$ ;
2. ceux pour lesquels la seconde variable est inférieure ou égale à ${\displaystyle V_{2}^{*}}$ .

Plus ces deux ensembles seront différents (du point de vue des critères mono-variés : moyenne, écart type, comparaison à une loi connue, etc), et plus l'événement ${\displaystyle V_{2}>V_{2}^{*}}$  a un impact sur la loi des valeurs de ${\displaystyle V_{1}}$ . Lorsque c'est le cas, nous avons identifié une dépendance entre ${\displaystyle V_{1}}$  et l'événement ${\displaystyle V_{2}>V_{2}^{*}}$ .

Il est possible de poursuivre cela en découpant notre échantillon en plusieurs morceaux, en recourant à plusieurs seuils ${\displaystyle V_{2,1}^{*},\ldots ,V_{2,S}^{*}}$ .

On se retrouve alors avec une population de ${\displaystyle S+1}$  échantillons à une seule variable (${\displaystyle V_{1}}$ ), qui peuvent être étudiés séparément. Si on s'aperçoit que les lois sur les échantillons sont très différentes, c'est qu'il y a une dépendance entre les deux variables.

•  
  Une population aléatoire (la deuxième variable n'est pas affichée).
•  
  Après seuillage de la deuxième variable : trois groupes sont formés. On voit nettement que les trois distributions sont très différentes; il y a donc bien une dépendance entre les deux variables.

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