Spectre d'anneau

Le spectre d'un anneau commutatif A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec A.

• Spec ℤ s'identifie à 0 uni avec l'ensemble des nombres premiers positifs (1 n'étant pas premier). Les nombres premiers p correspondent aux idéaux premiers pℤ, et 0 à l'idéal nul.
• Le spectre d'un corps commutatif est réduit à un point. En effet les seuls idéaux d'un corps sont le corps entier et 0.
• Si K est un corps commutatif, Spec K[X] s'identifie à 0 uni avec les polynômes premiers unitaires sur K. Si de surcroît K est algébriquement clos, alors Spec K[X] s'identifie à un point ω (pour l'idéal nul) uni disjointement avec le corps K lui-même.
• Spec ℝ[X] s'identifie à 0 (idéal nul) uni disjointement avec le demi-plan complexe ${\displaystyle \{a+ib\in \mathbb {C} \mid b\geq 0\}}$ . Un réel a correspond à l'idéal premier (X – a)ℝ[X] et un complexe a + ib avec b > 0 correspond à l'idéal premier (X – a – ib)(X – a + ib)ℝ[X].

À tout idéal I de A, on associe Z(I), qui est l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I.

Remarquons que :

• ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A=Z(\{0\})}$ 
• ${\displaystyle \varnothing =Z(A)}$ 
• ${\displaystyle Z(I)\cup Z(J)=Z(I\cdot J)}$ 
• ${\displaystyle Z(\sum _{\alpha }I_{\alpha })=\bigcap _{\alpha }Z(I_{\alpha })}$ 

Les Z(I) forment donc les fermés d'une topologie sur Spec A, que l'on appelle topologie de Zariski.

Pour tout élément f de A, l'ensemble des idéaux premiers de A ne contenant pas f est un ouvert de Zariski dans Spec A (c'est le complémentaire de Z(fA)) noté D(f) ; on appelle parfois ouverts distingués ou ouverts principaux les ouverts de cette forme ; ils constituent une base de la topologie de Zariski sur Spec A.

La topologie de Zariski n'est en général pas séparée, comme le montrent les exemples suivants.

En identifiant Spec ℤ à la réunion de 0 et des nombres premiers positifs, ses fermés de Zariski sont les ensembles finis de nombres premiers (avec bien sûr Spec ℤ et le vide). Ainsi le singleton {0} n'est pas fermé et son adhérence est même égale à Spec ℤ entier ; c'est un point dense. 0 est dans tout voisinage de tout nombre premier, donc aucun nombre premier n'est séparé d'un autre par cette topologie.

De manière analogue, si K est un corps commutatif, alors les fermés de Zariski de Spec K[X] s'identifient aux ensembles finis de polynômes premiers unitaires sur K et au singleton {0}. Le point 0 a les mêmes propriétés topologiques que dans le cas de Spec ℤ.

En particulier quand K est algébriquement clos, Spec K[X] s'identifie à la réunion disjointe de K et d'un point ω correspondant à l'idéal nul. Les fonctions continues de Spec K[X] dans lui-même sont alors différentes de celles des topologies euclidiennes usuelles. Sont par exemple continues toutes les fonctions f fixant ω et dont la restriction à K est ou bien bijective, ou bien polynomiale. En revanche pour K = ℂ, la fonction module f(z) = |z| n'est pas continue (car 1 a une infinité d'antécédents).

Un point p de Spec A est dit fermé si le singleton {p} est une partie fermée de Spec A. p est fermé si et seulement si c'est un idéal maximal de A. Si A est non nul, alors Spec A a toujours des points fermés. Mais contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques, tous les points ne sont pas fermés en général. Dans les exemples Spec ℤ et Spec ℝ[X], il existe un idéal premier (l'idéal nul) non maximal.

Puisqu'un point p de Spec A n'est pas nécessairement fermé, on peut considérer son adhérence (i.e. celle du singleton {p}) dans Spec A pour la topologie de Zariski. On dit qu'un point est générique s'il n'appartient à l'adhérence d'aucun autre point. Il est facile de voir qu'un point correspondant à un idéal premier est générique si et seulement si l'idéal premier est minimal (c'est-à-dire ne contenant aucun autre idéal premier). Ainsi, si A est intègre, l'idéal nul est un idéal premier, évidemment minimal, et correspond donc à un point générique de Spec A. C'est aussi l'unique point générique de Spec A. L'adhérence du point générique est l'espace tout entier (c'est un point dense).

Si A n'est pas intègre, il peut y avoir plusieurs points génériques. L'adhérence de chacun de ces points génériques est un fermé de Spec A appelée une composante irréductible de Spec A.

Exemple Si A = ℝ[X, Y]/(XY) (quotient par l'idéal engendré par le polynôme XY). Alors Spec A possède deux points génériques correspondant aux idéaux engendrés par X et par Y. Les composantes irréductibles correspondantes sont homéomorphes à Spec ℝ[Z].

L'espace Spec A est quasi-compact : de tout recouvrement ouvert {U_i}_i de Spec A, on peut extraire un sous-recouvrement fini. En effet, U_i est le complémentaire de Z(I_i) et Z(∑_i I_i), qui est l'intersection des Z(I_i), est vide. Donc ∑_i I_i = A. Cela implique que l'unité 1 de A appartient à la somme d'un nombre fini d'idéaux I_i. Les ouverts U_i correspondant aux complémentaires de ces Z(I_i) recouvrent Spec A.

Par contre, comme nous l'avons vu plus haut, un point n'est pas nécessairement fermé. Donc Spec A n'a aucune chance d'être un espace séparé en général. Néanmoins Spec A possède la propriété T₀. De plus, si on interprète la séparation d'un espace topologique X par le fait que la diagonale de X × X (produit cartésien muni de la topologie produit) est fermée, alors Spec A devient séparé dans le monde des schémas à condition que soit défini convenablement le produit (produit fibré) de Spec A par lui-même.

Soit h : A → B un homomorphisme d'anneaux. Pour tout idéal premier P de B, h⁻¹(P) est un idéal premier de A, ce qui définit une application Spec h : Spec B → Spec A. De plus, l'image réciproque par Spec h de tout fermé de A est un fermé de B car pour tout idéal I de A, (Spec h)⁻¹(Z(I)) = Z((h(I))). Donc Spec h est une application continue.

Exemples

• Si h est la surjection canonique A → A/I correspondant au quotient de A par un idéal I, alors Spec h est une immersion fermée et identifie Spec A/I à Z(I) muni de la topologie induite par celle de Spec A.
• Soit f un élément non nilpotent de A, soit h : A → A_f l'homomorphisme de localisation a ↦ a/1. Alors Spec h est une immersion ouverte et identifie Spec A_f à l'ouvert principal D(f).
• Pour tout anneau A, il existe un unique homomorphisme d'anneaux ℤ → A. Ce qui donne une application continue Spec A → Spec ℤ. Si A est de caractéristique p positive avec p premier, alors l'image de cette application est le point pℤ.

Soit X l'espace topologique Spec A. À isomorphisme près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs O_X sur X dont l'anneau des sections sur tout ouvert de la forme D(f) (pour f ∈ A) s'identifie à l'anneau localisé A_f. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau des germes de fonctions régulières en p (vu comme un point de X) s'identifie au localisé de A en p.

La donnée de l'espace topologique X et du faisceau d'anneaux O_X constitue un espace topologique annelé ; par définition, c'est un schéma affine. Le faisceau O_X est appelé le faisceau structural de X.

Si U est un ouvert de X, les sections sur U du faisceau structural sont appelées par abus de langage des fonctions régulières sur U.

La définition d'un schéma affine est quasiment identique à celle de variété affine. La différence est que le schéma autorise les idéaux premiers non maximaux dans le spectre (notamment l'idéal nul). Ces idéaux correspondent aux points génériques non fermés ; un schéma affine peut donc se voir comme une variété algébrique affine avec des points non fermés en plus.

Décrivons le faisceau structural de Spec ℤ. L'anneau au-dessus de Spec ℤ est ℤ, l'anneau au-dessus du vide est ℚ. En identifiant Spec ℤ à la réunion de 0 et des nombres premiers positifs, un ouvert de Spec ℤ est le complémentaire d'un ensemble fini de nombres premiers (avec bien sûr Spec ℤ et le vide). On prend donc un ouvert U = Spec ℤ \ {p₁, …, p_n}. L'anneau au-dessus de U est ℤ[1/p₁, …, 1/p_n] ⊂ ℚ, les nombres rationnels dont le dénominateur n'a que les p_i comme facteurs premiers.

• Spectre d'une C*-algèbre (en), en particulier d'une C*-algèbre commutative
• Anneau de Grothendieck

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