Moment cinétique spécifique

Certaines conditions, déjà connues de la loi universelle de la gravitation selon Newton, doivent d'abord être posées pour simplifier ce qui suit.

Deux masses ponctuelles ${\displaystyle m_{1}}$  et ${\displaystyle m_{2}}$  sont situées dans le vide à la distance ${\displaystyle r}$  l'une de l'autre. Seule la force de gravitation ${\displaystyle {\vec {F}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$  agit, instantanément et quelle que soit la distance. Le système de coordonnées est inertiel.

En plus il est supposé que ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ . Il y a donc ${\displaystyle m_{1}}$ , le corps central, à l'origine du système de coordonnées et ${\displaystyle m_{2}}$  le satellite qui tourne autour. La masse réduite est égale à ${\displaystyle m_{2}}$ . L'équation du problème à deux corps

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$ 

décrit le mouvement. ${\displaystyle \mu =Gm_{1}}$  est le paramètre gravitationnel standard et ${\displaystyle {\vec {r}}}$  (valeur absolue ${\displaystyle r}$ ) est le vecteur de distance qui pointe depuis le corps central au satellite parce que la masse du satellite est négligeable^{[Notes 1]}.

Il est important de ne pas confondre le paramètre gravitationnel standard ${\displaystyle \mu }$  avec la masse réduite dont le symbole est souvent ${\displaystyle \mu }$  également.

 

On obtient le moment cinétique spécifique en multipliant l'équation du problème à deux corps avec le vecteur ${\displaystyle {\vec {r}}}$  selon un produit vectoriel

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$ 

Le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même (côté droit de l'équation) est 0. Le côté gauche se simplifie comme suit selon la règle du produits des dérivées

${\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} ({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}})}{\mathrm {d} t}}=0}$ 

Cela veut dire que ${\displaystyle {\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}}$  est constant (grandeur conservée). Ce vecteur est justement le moment cinétique par unité de masse du satellite ^{[Références 1]}

${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=const.}$ 

Ce vecteur est perpendiculaire à l'orbite. L'orbite reste donc dans le même plan parce que le moment cinétique est constant.

D'autres conclusions du problème à deux corps se laissent raisonner d'après le moment cinétique spécifique avec les définitions de l'angle de vol ${\displaystyle \phi }$  et des composantes transversale et radiale du vecteur de vitesse (voir la figure à droite). Les trois prochaines formules sont toutes des méthodes équivalentes pour calculer la valeur absolue du mouvement cinétique spécifique

• ${\displaystyle h=rv\cos \phi }$ 
• ${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\nu }}}$ 
• ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$ 

Les lois de Kepler peuvent être démontrées presque directement de la dérivation du moment cinétique spécifique.

La démonstration commence de nouveau de l'équation du problème à deux corps. Cette fois ci elle est multipliée (produit vectoriel) avec le moment cinétique spécifique

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}}$ 

Le côté gauche de l'équation est égal à ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})}{\mathrm {d} t}}}$  parce que le moment cinétique est constant.

Après quelques calculs on obtient pour le côté droit ${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}({\vec {r}}\times {\vec {h}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}(({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}})=-({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}})=\mu {\frac {\mathrm {d} {\frac {\vec {r}}{r}}}{\mathrm {d} t}}}$ 

Former l'équation et intégrer

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}}$ 

avec la constante d'intégration ${\displaystyle {\vec {C}}}$ .

Si on multiplie (produit scalaire) cette équation avec ${\displaystyle {\vec {r}}}$  on obtient

${\displaystyle {\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})={\vec {r}}(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}})}$ 

${\displaystyle {\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})=({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}){\vec {h}}=h^{2}\;,\qquad {\vec {r}}(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}})=\mu r+rC\cos \nu }$ 

Il en sort finalement l'équation du mouvement képlérien ^{[Références 2]}

${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \nu }}}$ 

qui est l'équation polaire d'une conique avec le demi-paramètre ${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$  et l'excentricité ${\displaystyle e={\frac {C}{\mu }}}$ . Ceci démontre la première loi de Kepler, en mots :

« Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. »

— Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis^{[Références 3]}

La deuxième des trois équations pour la valeur absolue du mouvement cinétique spécifique mène directement à la deuxième loi de Kepler.

Si l'on combine la recomposition de l'équation ${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}\mathrm {d} \nu }{h}}}$  avec le rapport que l'aire d'un secteur avec un angle ${\displaystyle \mathrm {d} \nu }$  infiniment petit est égale à ${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}\mathrm {d} v}{2}}}$  (triangle avec un côté très petit), le résultat est^{[Références 4]}

${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2\mathrm {d} A}{h}}}$ 

l'équation qui va avec la loi formulée en mots :

« Le rayon Soleil-planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. »

— Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis^{[Références 3]}

La troisième loi de Kepler est une conséquence de la deuxième loi. Si on intègre l'équation sur une révolution on obtient la période de révolution

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$ 

pour l'aire ${\displaystyle \pi ab}$  d'une ellipse. Si l'on remplace le demi-petit axe avec ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$  et le moment cinétique spécifique avec ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$  le résultat est ^{[Références 4]}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$ 

Cela veut dire qu'il y a une relation fonctionnelle entre la période de révolution et le demi-grand axe qui se réduit à une constante du corps central. Ceci équivaut à la formulation plus connue de la loi :

« Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi grand-axe de l'orbite. »

— Johannes Kepler , Harmonices Mundi libri V^{[Références 3]}

• Énergie orbitale spécifique, une autre unité de conservation du problème à deux corps.

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