Lemme de transport

Soient ${\displaystyle X}$  et ${\displaystyle Y}$  deux ensembles, ${\displaystyle f:\;X\to Y}$  une application et ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P}}\left(Y\right)}$  un ensemble de parties de ${\displaystyle Y}$ , on a alors^[1],[2] ${\displaystyle f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)}$ .

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$  et ${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$  sont des espaces topologiques, ${\displaystyle f:(X,\sigma ({\mathcal {O}}))\to (Y,\sigma ({\mathcal {U}}))}$  est borélienne si et seulement si ${\displaystyle f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)}$  ; or d'après le lemme de transport ${\displaystyle f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {U}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\right)}$ . Si on suppose que ${\displaystyle f}$  est continue alors ${\displaystyle f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\subset {\mathcal {O}}}$ , et on a bien ${\displaystyle \sigma (f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right))\subset \sigma ({\mathcal {O}})}$  donc ${\displaystyle f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)}$ .

Plus généralement le lemme de transport dit que si ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$  et ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$  sont des espaces mesurables et si ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(Y)}$  tel que ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}}$  alors ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$  est mesurable si et seulement si ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {A}}}$  ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ -mesurables.

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