Inégalité de Hölder

Soient

• ${\displaystyle S}$  un espace mesuré,
• ${\displaystyle p,q>0}$  (la valeur ${\displaystyle +\infty }$  étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$ 
• ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$  et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$ .

Alors, le produit ${\displaystyle fg}$  appartient à ${\displaystyle L^{1}(S)}$  et sa norme est majorée naturellement :

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$ 

Plus généralement^[1], pour ${\displaystyle 0<p,q\leq +\infty }$  et ${\displaystyle r}$  défini par

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$ ,

si ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$  et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$  alors ${\displaystyle fg\in L^{r}}$  et ${\displaystyle \lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}$ .

De plus, lorsque ${\displaystyle p}$  et ${\displaystyle q}$  sont finis, il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle |f|^{p}}$  et ${\displaystyle |g|^{q}}$  sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe ${\displaystyle \alpha }$  et ${\displaystyle \beta }$  non simultanément nuls tels que ${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$  p.p.

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young^[2].

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝⁿ (ou de ℂⁿ), l'inégalité

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\ y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.}$ 

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ℓ^p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (x_k) et (y_k) sont respectivement dans les espaces de suites ℓ^p et ℓ^q, alors la suite « produit terme à terme » (x_k y_k) est dans ℓ¹.

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ L^p(S).

• Si p < +∞, alors${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$ 
• Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie^[3]), alors${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$ 

Démonstration^[4]

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par ║f║_p.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme p de f, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que${\displaystyle \|f\|_{p}=1.}$ 

• Si p < +∞, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction g définie sur S par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}}$ appartient à L^q où sa norme vaut 1 et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.}$ 
• Si p = +∞, soient ε ∈]0, 1[et A = [| f| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque ║f║_∞ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction g définie sur S par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$ appartient alors à L¹ où sa norme vaut 1 et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .}$ La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à ║f║_∞.

Remarques sur le cas p = +∞

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de ℓ^∞ définie par x_k = 1 – 2^–k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans ℓ¹, ${\displaystyle \left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.}$ 
• Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que ║f║_∞ = 1.

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces L^p associés à une mesure finie de masse totale M :${\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.}$ (Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p si p ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de L^p est L^q (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞^[5], et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p₁, …, p_n ≤ +∞ tels que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$ 

et n fonctions f_k ∈ L^p_k(S). Alors, le produit des f_k appartient à L^r(S) et

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.}$ 

De plus, lorsque tous les p_k sont finis, il y a égalité si et seulement si les |f_k|^p_k sont colinéaires p.p.

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

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