Formule d'Euler–Rodrigues

La matrice générale d'une rotation de l'espace vectoriel euclidien de dimension trois dans une base orthonormée directe s'écrit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{bmatrix}}}$ 

où ${\displaystyle a,b,c,d}$  sont quatre paramètres réels, dits d'Euler-Rodrigues, vérifiant ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$ .

C'est donc aussi la formule générale d'une matrice orthogonale positive d'ordre trois.

Si on note ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$  le vecteur de coordonnées (b, c, d) dans la base orthonormée, la formule précédente est l'écriture matricielle de la formule :

${\displaystyle {\vec {x}}'=r({\vec {x}})={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\land {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\land ({\vec {\omega }}\land {\vec {x}})\right)}$ .

C'est la raison pour laquelle le paramètre a est appelé le paramètre scalaire, et le triplet (b, c, d) le paramètre vectoriel .

Les paramètres (a, b, c, d) et (−a, −b, −c, −d) décrivent la même rotation. En dehors de cette symétrie, chaque quadruplet de paramètres décrit une rotation unique.

Soit (a₁, b₁, c₁, d₁) et (a₂, b₂, c₂, d₂) les paramètres d'Euler-Rodrigues de deux rotations. Les paramètres de la rotation composée (rotation 1 puis rotation 2) sont les suivants:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}}$ 

Il est simple, bien que fastidieux, de vérifier que a² + b² + c² + d² = 1 . Il s'agit essentiellement de l'identité des quatre carrés d'Euler, également utilisée par Rodrigues.

Toute rotation vectorielle en dimension trois est uniquement déterminée par son axe de rotation (dirigé par un vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}}$  de coordonnées ${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})}$ ) et son angle ${\displaystyle \theta }$  . Les paramètres d'Euler-Rodrigues sont alors obtenus par les relations :

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\theta }{2}};\\b&=n_{1}\sin {\frac {\theta }{2}};\\c&=n_{2}\sin {\frac {\theta }{2}};\\d&=n_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$ 

Autrement dit, ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\sin {\frac {\theta }{2}}{\vec {n}}}$ .

Notons que si ${\displaystyle \theta }$  est augmenté d'une rotation complète de ${\displaystyle 2\pi }$ , les arguments des sinus et cosinus n'augmentent que de ${\displaystyle \pi }$ . Les paramètres résultants sont les opposés des valeurs originales, (−a, −b, −c, −d) ; ils représentent la même rotation.

• La transformation identique (rotation nulle, ${\displaystyle \theta =0}$ ) correspond à des valeurs de paramètres (a, b, c, d) = (±1, 0, 0, 0) .

• Les rotations de 180 degrés (demi-tours, ${\displaystyle \theta =\pi }$ ) autour de n'importe quel axe sont obtenues pour a = 0 , ce qui donne la matrice générale d'un demi-tour autour de ${\displaystyle {\vec {n}}}$  de coordonnées (b, c, d) :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b^{2}-c^{2}-d^{2}&2bc&2bd\\2bc&c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd)\\2bd&2cd&d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{bmatrix}}}$ .

• La matrice des angles d'Euler ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &-\cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &\sin \psi \sin \theta \\\sin \psi \cos \varphi +\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &-\cos \psi \sin \theta \\\sin \theta \sin \varphi &\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{bmatrix}}}$ est égale à la matrice d'Euler-Rodrigues avec ${\displaystyle (a,b,c,d)=(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi +\varphi }{2}},\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi +\varphi }{2}},\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi -\varphi }{2}},\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi -\varphi }{2}})}$ .
• Si ${\displaystyle a,b,c,d}$  sont des entiers non tous nuls, la matrice ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}{\begin{bmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{bmatrix}}}$  est une matrice de rotation à coefficients rationnels.

Théorème : si ${\displaystyle r}$  est la rotation d'angle ${\displaystyle \theta }$  autour de ${\displaystyle {\vec {n}}}$  (unitaire) , l'image d'un vecteur ${\displaystyle {\vec {x}}}$  est donnée par la formule :

${\displaystyle r({\vec {x}})={\vec {x}}+\sin \theta ({\vec {n}}\land {\vec {x}})+(1-\cos \theta )({\vec {n}}\land ({\vec {n}}\land {\vec {x}}))}$ 

Démonstration : Le vecteur ${\displaystyle {\vec {x}}}$  se décompose suivant le plan P orthogonal à ${\displaystyle {\vec {n}}}$  et la droite engendrée par ${\displaystyle {\vec {n}}}$  en ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2}}$ . Or, si ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$  est le vecteur directement orthogonal à ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$  dans P, ${\displaystyle r({\vec {x}})=\cos \theta {\vec {x}}_{1}+\sin \theta {\vec {y}}_{1}+{\vec {x}}_{2}}$ , donc ${\displaystyle r({\vec {x}})-{\vec {x}}=(\cos \theta -1){\vec {x}}_{1}+\sin \theta {\vec {y}}_{1}}$ .

Or, avec un dessin, on peut se convaincre que ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}=-{\vec {n}}\land ({\vec {n}}\land {\vec {x}})}$  et ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}={\vec {n}}\land {\vec {x}}}$ , d'où la formule énoncée.

Attention, il ne faut pas confondre cette formule d'Olinde Rodrigues avec cette autre, concernant les polynômes orthogonaux.

La formule d'Olinde Rodrigues s'écrit aussi ${\displaystyle r({\vec {x}})={\vec {x}}+2\sin {\theta \over 2}\cos {\theta \over 2}({\vec {n}}\land {\vec {x}})+2\sin ^{2}{\theta \over 2}({\vec {n}}\land ({\vec {n}}\land {\vec {x}}))}$  , et en posant ${\displaystyle a=\cos {\frac {\theta }{2}}}$  et ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\sin {\frac {\theta }{2}}{\vec {n}}}$ , on obtient bien ${\displaystyle r({\vec {x}})={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\land {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\land ({\vec {\omega }}\land {\vec {x}})\right)}$ .

La formule matricielle s'obtient alors en passant aux coordonnées.

La formule d'Olinde Rodrigues donne la matrice de ${\displaystyle r}$  dans une base orthonormée directe :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}n_{1}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{1}n_{2}\left(1-\cos \theta \right)-n_{3}\sin \theta &n_{1}n_{3}\left(1-\cos \theta \right)+n_{2}\sin \theta \\n_{1}n_{2}\left(1-\cos \theta \right)+n_{3}\sin \theta &n_{2}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{2}n_{3}\left(1-\cos \theta \right)-n_{1}\sin \theta \\n_{1}n_{3}\left(1-\cos \theta \right)-n_{2}\sin \theta &n_{2}n_{3}\left(1-\cos \theta \right)+n_{1}\sin \theta &n_{3}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \end{array}}\right]}$ 

qui donne elle-même la matrice d'Euler-Rodrigues en utilisant ${\displaystyle (a,b,c,d)=(\cos {\frac {\theta }{2}},n_{1}\sin {\frac {\theta }{2}},n_{2}\sin {\frac {\theta }{2}},n_{3}\sin {\frac {\theta }{2}})}$ .

Les paramètres d'Euler-Rodrigues peuvent être considérés comme les coefficients d'un quaternion

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$ 

dont le paramètre scalaire a est la partie réelle, et les paramètres vectoriels b, c, d les parties imaginaires. Il est unitaire puisque

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$ 

Plus important encore, les relations ci-dessus pour la composition des rotations sont précisément les relations pour la multiplication des quaternions. En d'autres termes, le groupe de quaternions unitaires muni de la multiplication, modulo le signe moins, est isomorphe au groupe des rotations muni de la composition.

Le groupe de Lie SU(2) peut être utilisé pour représenter des rotations tridimensionnelles par des matrices 2 × 2 . La matrice de SU(2) correspondant à une rotation, en fonction de ses paramètres d'Euler-Rodrigues, est

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+di&b+ci\\-b+ci&a-di\end{pmatrix}}.}$ 

Ce qui peut s'écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b\ {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+c\ {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+d\ {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\\&=a\,I+ic\,\sigma _{x}+ib\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$ 

où les σ_i sont les matrices de spin de Pauli. Ainsi, les paramètres d'Euler-Rodrigues sont les coefficients de la représentation d'une rotation tridimensionnelle dans SU(2).

• Quaternions et rotation dans l'espace
• Angles d'Euler
• Transformation de Cayley
• Rotations en dimension 4

• Élie Cartan, The Theory of Spinors, Dover, 1981 (ISBN 0-486-64070-1)
• W. R. Hamilton, Elements of Quaternions, Cambridge University Press, 1899
• E.J. Haug, Computer-Aided Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics., Springer-Verlag, 1984
• (es) Garza et Pacheco Quintanilla, « Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana », Revista Mexicana de Física,‎ juin 2011, p. 109–113 (lire en ligne [archive du 23 avril 2012] [PDF])
• (en) Shuster, « A Survey of Attitude Representations », Journal of the Astronautical Sciences, vol. 41, n^o 4,‎ 1993, p. 439–517 (lire en ligne [PDF])

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