Expérience de la goutte d'huile de Millikan

Si un pulvérisateur d'huile fait tomber lentement des gouttelettes d'huile électrisées dans un espace où règne un champ électrostatique uniforme, on constate que la vitesse de chute serait brusquement modifiée, ce qui manifesterait l'entrée en jeu d'une force à partir de laquelle Millikan mesura la valeur de la charge élémentaire : e=1,6017×10⁻¹⁹ coulomb.

Dans un extrait de son exposé de réception de prix Nobel en 1923, Millikan conclut^[1] :

« Il fut possible de décharger une gouttelette complètement de façon qu'elle parcoure un centimètre sous l'effet de la gravitation seule ou sous un champ de 6 000 volts/cm avec exactement le même temps. Il fut possible de charger la gouttelette et de reproduire l'expérience à volonté avec à chaque fois une vitesse minimum identique pour un champ fixé. Exactement deux fois cette vitesse, trois fois, quatre fois, etc., bref un nombre entier de la vitesse limite minimum et jamais un nombre fractionnaire. Ainsi, dans cette expérience, une gouttelette insensible au champ électrique est à l'évidence non chargée et si on l'ionise avec un rayonnement elle se déplace dans un champ fixe et uniforme à des vitesses quantifiées ${\displaystyle v_{1}}$ , ${\displaystyle 2v_{1}}$ … (après correction de ${\displaystyle v_{0}}$ , vitesse de chute sans champ électrique dans le champ gravitationnel et en tenant compte de la poussée d'Archimède). Ceci démontre expérimentalement et de façon éclatante par la simplicité du dispositif que la charge de la gouttelette ne peut être qu'un nombre entier de la charge élémentaire ${\displaystyle e=1,6\cdot 10^{-19}}$  coulomb. »

Dans le cas d'une modélisation simple, une gouttelette d'huile est soumise à quatre forces :

1. Son poids : ${\displaystyle {\vec {P}}={4 \over 3}\pi r^{3}\rho _{h}{\vec {\mathrm {g} }}}$  avec r rayon de la gouttelette, ρ_h la masse volumique de l'huile et g l'accélération de la pesanteur ;
2. La force électrostatique : ${\displaystyle {\vec {F}}_{E}=q{\vec {E}}\,}$  avec q la charge de la gouttelette et E le champ entre les électrodes ;
3. La poussée d'Archimède : ${\displaystyle {\vec {F}}_{A}=-{4 \over 3}\pi r^{3}\rho _{a}{\vec {\mathrm {g} }}}$  avec ρ_a la masse volumique de l'air ;
4. La force de traînée (résistance de l'air) dont l'expression la plus simple est probablement la loi de Stokes : ${\displaystyle {\vec {F}}_{R}=-6\pi \eta r{\vec {v}}\,}$  avec η coefficient de viscosité de l'air et v vitesse de la gouttelette. Les modélisations plus poussées de cette expérience utilisent souvent d'autres formules.

Le principe fondamental de la dynamique en projection sur un axe vertical s'écrit donc :

${\displaystyle m{dv \over dt}={4 \over 3}\pi r^{3}\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})-qE-6\pi \eta rv.}$ 

En supposant une vitesse initiale nulle, la solution de l'équation donne :

${\displaystyle v=\left({\frac {1}{6\pi \eta r}}\right)\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})-qE\right)\left(1-\exp \left(-t{\frac {6\pi \eta r}{m}}\right)\right).}$ 

On pose ${\displaystyle \tau ={\frac {m}{6\pi \eta r}}}$  constante de temps. Celle-ci a un ordre de grandeur très faible donc on peut admettre que le régime permanent est atteint de façon instantanée.

Autrement dit, la gouttelette atteint très vite une vitesse limite ne dépendant plus du temps qui a pour valeur :

${\displaystyle v_{\text{lim}}(E)=\left({\frac {1}{6\pi \eta r}}\right)\left[{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})-qE\right].}$ 

Soit ${\displaystyle v_{0}=v_{\text{lim}}(0)}$  la vitesse en champ nul. On peut alors réécrire

${\displaystyle v_{\text{lim}}(E)=v_{0}-{\frac {qE}{6\pi \eta r}}.}$ 

On peut mesurer la charge ${\displaystyle q}$  de la gouttelette par différentes méthodes.

Dans cette méthode, la mesure se fait en deux étapes.

1. On annule la tension aux bornes du condensateur. Le champ électrique E est alors nul, et on mesure la vitesse limite ${\displaystyle v_{0}}$  de la goutte. Cette vitesse permet de remonter au rayon inconnu de la goutte :
   ${\displaystyle v_{0}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})}{6\pi \eta r}}\quad \Rightarrow \quad r=3{\sqrt {\frac {\eta v_{0}}{2\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})}}}}$  ;
2. On fait varier le champ électrique jusqu'à ce que la goutte soit immobilisée. Le champ ${\displaystyle E_{0}}$  correspondant à l'équilibre des forces permet de remonter à la charge de la goutte :
   ${\displaystyle v_{\text{lim}}(E_{0})=0\quad \Rightarrow \quad q={\frac {6\pi \eta rv_{0}}{E_{0}}}.}$ 

En pratique, l'équilibre des forces est difficile à observer en raison du mouvement brownien qui agite la goutte d'huile. Puisque ce mouvement est surtout sensible à basse vitesse, il est plus intéressant de travailler à vitesse importante, ce qui est le cas de la méthode ci-dessous.

Dans cette méthode, on garde l'amplitude du champ constant et on alterne la polarité du condensateur de sorte que la force électrique soit dirigée vers le haut puis vers le bas.

1. Force électrique vers le haut (vitesse ${\displaystyle v_{1}}$ ):
   

${\displaystyle qE+F_{A}=mg+6\pi \eta rv_{1}}$  (1)

1. Force électrique vers le bas (vitesse ${\displaystyle v_{2}}$ ):
   

${\displaystyle qE+mg=6\pi \eta rv_{2}+F_{A}}$  (2)

donc en soustrayant 1 à 2

${\displaystyle 2(mg-F_{A})=6\pi \eta r(v_{2}-v_{1})}$ 

or
${\displaystyle mg-F_{A}={\frac {4\pi }{3}}r^{3}\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})}$ 

donc
${\displaystyle r=3/2{\sqrt {\frac {\eta (v_{2}-v_{1})}{\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})}}}}$ 

On a aussi en additionnant 1 et 2

${\displaystyle 2qE=6\pi \eta r(v_{2}+v_{1})}$ 

donc
${\displaystyle q={\frac {9\pi }{2E}}{\sqrt {\frac {\eta ^{3}(v_{2}-v_{1})}{\mathrm {g} (\rho _{h}-\rho _{a})}}}(v_{2}+v_{1})}$ 

Millikan avait trouvé une valeur de e inférieure à celle que l'on connaît aujourd'hui. Plus d'une vingtaine d'années après son expérience, on a pu comprendre qu'il avait utilisé une mauvaise valeur de la viscosité de l'air. Il avait en effet utilisé un résultat qu'il avait fait calculer à un de ses étudiants. Mais entretemps, de nombreux scientifiques qui avaient refait l'expérience de Millikan s'étonnaient de se trouver aussi décalés et ont, semble-t-il, manipulé un peu leurs résultats pour s'approcher de la valeur de Millikan. Ce discours de Richard Feynman lors d'un discours de remise de diplômes à Caltech en 1974 explique le phénomène :

« Nous avons beaucoup appris par expérience personnelle sur les façons par lesquelles on peut s’induire en erreur. Un exemple : Millikan mesura la charge de l’électron à l’aide d’une expérience faite avec des gouttes d’huile et obtint un chiffre que nous savons aujourd’hui ne pas être complètement exact. La valeur était un peu décalée parce qu’il utilisait une valeur incorrecte de viscosité de l'air. Il est édifiant d’examiner les résultats qui ont suivi Millikan. Si on trace les valeurs obtenues en fonction de la date à laquelle elles ont été trouvées, on se rend compte que l’expérience suivant celle de Millikan donne une valeur légèrement supérieure à celle que Millikan avait trouvé, et que celle qui suit donne une valeur encore légèrement supérieure, jusqu’à ce qu’on arrive progressivement à une valeur très supérieure.

Mais pourquoi n’ont-ils pas trouvé la bonne valeur dès le début ? Les scientifiques ont honte des dessous de cette histoire car il semblerait que les choses se soient passées ainsi : lorsqu’ils obtenaient une valeur bien plus élevée que celle de Millikan, ils se disaient qu’il devait y avoir une erreur et essayaient de comprendre ce qui avait pu mal tourner. Et lorsqu’ils trouvaient une valeur proche de celle de Millikan, ils ne se posaient pas de questions. Ils ont ainsi éliminé les valeurs trop décalées. Nous connaissons ces petites combines de nos jours et nous nous savons immunisés à ça^[2],[3]. »

• Jean Perrin, Les Atomes, Paris, Félix Alcan, 1913 [détail des éditions]
• L'électron (traduit sur la 2^e édition américaine par Adolphe Lepape), Robert Andrews Milikan, Éditions Félix Alcan, coll. «Nouvelle collection scientifique», 1926.
• [PDF] (en) Article de Millikan de 1913
• [PDF] (en) Exposé de Millikan lors de son prix Nobel en 1923

• (histoire des sciences) La mesure par Millikan de la charge de l'électron, texte commenté sur le site BibNum

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