Équation polaire

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe ${\displaystyle \left({\vec {u}}(\theta ),{\vec {v}}(\theta )\right)}$ , obtenue par rotation de θ à partir de la base ${\displaystyle \left({\vec {i}},{\vec {j}}\right)}$ . Ainsi

${\displaystyle {\vec {u}}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}(\theta )={\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\vec {u}}(\theta +{\frac {\pi }{2}})}$ .

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {v}}\qquad {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}}$ .

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Par définition même des coordonnées polaires, ${\displaystyle {\vec {u}}}$  est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que ${\displaystyle {\vec {OM}}}$  et ainsi

${\displaystyle {\vec {OM}}=f(\theta ){\vec {u}}}$ .

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Si la fonction ${\displaystyle f}$  est dérivable alors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}=f'(\theta ){\vec {u}}(\theta )+f(\theta ){\vec {v}}(\theta )}$ .

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à ${\displaystyle \theta }$ . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle ${\displaystyle V}$  entre le vecteur ${\displaystyle {\vec {OM}}}$  et le vecteur tangent ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}}$  vérifie donc :

${\displaystyle \tan V={\frac {f(\theta )}{f'(\theta )}}}$  si ${\displaystyle f'(\theta )\neq 0}$ ,

${\displaystyle V=\pm {\frac {\pi }{2}}}$  si ${\displaystyle f'(\theta )=0}$ .

Si l'origine est prise en ${\displaystyle \theta _{0}}$  alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point ${\displaystyle M(\theta _{0})}$  et ${\displaystyle M(\theta _{1})}$ , est :

${\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction ${\displaystyle f}$  est deux fois dérivable, et si ${\displaystyle 2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}$  est non nul, le rayon de courbure est :

${\displaystyle {\frac {(f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta ))^{3/2}}{2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}}}$ .

Si la fonction ${\displaystyle f}$  est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité ${\displaystyle 2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}$ . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Pour étudier une branche infinie quand ${\displaystyle \theta \to \theta _{0}}$ , on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base ${\displaystyle \left({\vec {u}}(\theta _{0}),{\vec {v}}(\theta _{0})\right)}$ ^[1].

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

${\displaystyle {\vec {V}}={\dot {r}}{\vec {u}}+r{\dot {\theta }}{\vec {v}}}$  ;

${\displaystyle {\vec {A}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\vec {v}}}$ .

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate…

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