Théorèmes de Guldin

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On désigne sous le nom de théorèmes de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne concernant les solides de révolution établis par le mathématicien suisse Paul Guldin. Il est probable que ces résultats étaient déjà connus de Pappus d'Alexandrie et c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation de théorème de Pappus-Guldin (à ne pas confondre avec le théorème de Pappus). Il exprime sous certaines conditions :

l'aire de la surface engendrée par un arc de courbe ;
la mesure du volume engendré par une surface.

Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d'un arc de courbe ou d'une surface.

Premier énoncé

Théorème — La mesure de l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane autour d'un axe de son plan, et ne traversant pas l'arc de courbe, est égale au produit de la longueur de l'arc de courbe par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :

{\mathcal {A}}=\alpha \cdot r_{S}\cdot s

où $α$ est la mesure (exprimée en radians) de l'angle décrit par la rotation, $r S$ est la distance du centre de gravité ( $C$ ) à l'axe et $s$ la longueur de l'arc.

Exemples :

l'aire du tore ouvert de rayons $r$ et $R$ vaut ${\mathcal {A}}=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR$
l'aire engendrée par un demi-cercle de rayon $R$ et de centre de gravité $G$ est la sphère d'aire ${\mathcal {A}}=(2\pi r_{G})(\pi R)=4\pi R^{2}$ . Il vient $r G = 2 / π R$ .

Second énoncé

Théorème — La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale au produit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite par son centre de gravité :

{\mathcal {V}}=\alpha \cdot d\cdot {\mathcal {A}}

Exemples :

le volume intérieur du tore ouvert de rayons $r$ et $R$ vaut $V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}r^{2}R$ .
Inversement le théorème permet d'obtenir un centre de gravité, par exemple
- le volume engendré par un demi-disque de rayon $R$ et de centre de gravité $G$ est la boule de mesure $V=({\tfrac {1}{2}}\pi R^{2})(2\pi r_{G})={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}$ . Il vient $r G = 4 / 3π R$ .
  Centre de gravité d'un triangle rectangle
- le centre de gravité d'une plaque triangulaire rectangle homogène se trouve au tiers des côtés de l'angle droit.

Démonstration

Faisons tourner le triangle autour du côté de longueur $h$ (voir figure) ; on obtient un tronc de cône de volume $V={\frac {1}{3}}\pi b^{2}h$ ; mais d'après le deuxième théorème de Guldin, $V$ est aussi égal à ${\frac {ab}{2}}.2\pi d$ où $d$ est la distance du centre de gravité à l'axe. On obtient $d={\frac {b}{3}}$ , ce que nous voulions.

Liens externes

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Théorèmes de Guldin, sur Wikimedia Commons

(en) Eric W. Weisstein, « Pappus's Centroid Theorem », sur MathWorld