Genre (relativité)

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En relativité restreinte et en relativité générale, le genre d'un quadrivecteur est déterminé par le signe de sa norme. Selon celui-ci, on parle de genre temps, genre espace, ou genre lumière. Par extension, on parle de trajectoire de genre temps, de genre espace, ou de genre lumière quand le vecteur tangent à celle-ci est toujours du genre considéré.

Le genre d'une hypersurface est celui du quadrivecteur qui lui est orthogonal^[1].

Le genre d'un quadrivecteur ${\displaystyle V}$ est déterminé par sa norme, c'est-à-dire par la quantité :

${\displaystyle N=g_{ab}V^{a}V^{b}}$,

où ${\displaystyle g}$ correspond à la métrique de l'espace considéré (la métrique de Minkowski en relativité restreinte, et la métrique associée à la variété différentielle décrivant l'espace temps en relativité générale).

Quand la quantité ${\displaystyle N}$ est nulle, le vecteur est dit de genre lumière. C'est ce qu'il se produit quand le vecteur correspond au vecteur tangent à la trajectoire d'un photon.

La définition de genre espace et de genre temps dépend de la convention utilisée pour décrire la signature de la métrique. Pour les auteurs pour lesquels la signature de la métrique est (-+++), alors les vecteurs de genre temps sont tels que ${\displaystyle N}$ est négatif et les vecteurs de genre espace ont tels que ${\displaystyle N}$ est positif, alors que si l'on se place dans la convention où la signature de la métrique est (+---), les vecteurs de genre temps sont tels que ${\displaystyle N}$ est positif et ceux de genre espace sont tels que ${\displaystyle N}$ est négatif.

Indépendamment de la convention choisie, un vecteur de genre temps correspond à une trajectoire susceptible d'être empruntée par un objet physique. Un vecteur de genre espace ne correspond ni à une trajectoire possible d'un objet, ni à celle d'une particule sans masse.

Dans la métrique de Minkowski, on peut définir les vecteurs de base associés à un système de coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (t,x,y,z)}$. Ces vecteurs, que l'on peut noter ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ou t, et ainsi de suite, et de composantes ${\displaystyle t^{a}=(1,0,0,0)}$ et ainsi de suite, possèdent les normes suivantes (dans la convention de signature (+---)) :

${\displaystyle \eta _{ab}t^{a}t^{b}=c^{2}}$ (c est la vitesse de la lumière)

${\displaystyle \eta _{ab}x^{a}x^{b}=-1}$,

${\displaystyle \eta _{ab}y^{a}y^{b}=-1}$,

${\displaystyle \eta _{ab}z^{a}z^{b}=-1}$.

Les vecteurs x, y, z sont ainsi de genre espace, alors que t est de genre temps. t correspond de fait à la quadrivitesse d'un observateur immobile dans le système de coordonnées considéré. À l'inverse, x, y, ou z ne correspond pas à la quadrivitesse d'un objet matériel, mais à une direction orthogonale à celle-ci. Ils décrivent une direction d'espace. Un vecteur du type ${\displaystyle c{\mathbf {x} }+{\mathbf {t} }}$ est lui de norme nulle :

${\displaystyle \eta _{ab}(cx^{a}+t^{a})(cx^{b}+t^{b})=0}$.

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., 30 janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. 7 mai 2008), 1 vol., 976, 17 × 24 cm (ISBN 2-8073-0744-2 et 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.genre, p. 366, col. 2.

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