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[[Fichier:Belt Trick.ogv|vignette|Le cube peut tourner continument sans que les ficelles qui le retiennent s'emmêlent. Après un mouvement de 360°, la configuration a changé. Mais au bout de 720° on revient à la position initiale. Un cube "détaché" se comporte comme un vecteur ordinaire, le cube attaché comme un spineur.]]

Formellement, un '''spineur''' est un élément d'un [[représentation de groupe|espace de représentation]] pour le [[groupe spinoriel]]. Concrètement, il s'agit d'un élément d'un certain [[espace vectoriel complexe]] associé à l'espace de référence, typiquement l'espace euclidien ordinaire, et sur lequel les rotations (ou plus généralement les [[groupe orthogonal|transformations orthogonales]]) agissent de façon spécifique. Ainsi, par une rotation d'angle variant progressivement de 0 à 360 [[Degré (angle)|degré]]s  on revient d'un vecteur de l'espace euclidien à ce même vecteur ; en revanche, pour un spineur, effectuer une telle avancée de 360 degrés transforme le spineur en son opposé. Il faut poursuivre jusqu'à 720 degrés pour qu'un spineur retrouve ses coordonnées initiales.

Des images concrètes ont été proposées pour saisir comment se comporte un spineur ; l'idée générale est que faire tourner un objet « attaché » dans l'espace ambiant n'est pas la même chose que faire tourner un objet sans support.
Le [[spin]] des particules en physique quantique est une propriété interne qui traduit lui aussi une information sans équivalent classique.

Les spineurs ont été introduits par [[Élie Cartan]] ({{date-|1869|en science}}-{{date-|1951}}) en {{date|1913|en science}}{{sfn|Micali|1986|loc={{§|7}}|p=76}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} spineur|p=687, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Cartan|1913}}. Ils ont été nommés ainsi par [[Paul Ehrenfest]] ({{date-|1880|en science}}-{{date-|1933|en science}}){{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} spineur|p=687, {{col.|2}}}}. Par la suite, ils ont été utilisés par la [[mécanique quantique]] : la [[fonction d'onde]] d'un [[fermion]] est représentée par un {{Lien|langue=en|trad=Dirac Spinor|fr=spineur de Dirac|texte=spineur de Dirac}}. Pour les particules de [[spin]] ½ (notamment l'[[électron]]), ceci est exprimé par l'[[équation de Dirac]]. Pour des particules hypothétiques de spin 3/2, c'est l'[[équation de Rarita-Schwinger]] qui s'appliquerait.

Les spineurs apparaissent dans l'une des tentatives d'élaboration d'une théorie de la [[gravitation quantique]] : dans la [[théorie des twisteurs]].

== Spineurs en dimension 3 ==

=== Description ===
Les spineurs constituent un espace de représentation du groupe [[SU(2)|SU(2)=Spin(3)]]{{sfn|Hladik|2008|p=255}} :
:<math> \text{SU} (2) = \left \{ \begin{pmatrix} a&-\overline{b}\\ b&\overline{a} \end{pmatrix}: \ \ a,b\in\Complex,|a|^2 + |b|^2 = 1\right \}</math>.

Un spineur d'ordre un de l'espace tridimensionnel est un couple <math>(\alpha,\beta)</math> de [[Nombre complexe|nombres complexes]] transformé en un couple <math>(\alpha',\beta')</math> par multiplication par un élément de ce groupe. 

Par ailleurs, un vecteur unitaire <math>\textbf{u}</math> de l'espace euclidien de dimension 3 étant donné,
de composantes <math>u_x</math>, <math>u_y</math> et <math>u_z</math>, à la rotation spatiale d'un angle <math>\theta</math> autour de l'axe dirigé par <math>\textbf{u}</math> on associe la matrice notée
: <math>U(\textbf{u}, \frac{\theta}{2}) =
\left(\begin{array}{cc}
\cos\frac{\theta}{2} - iu_z\sin\frac{\theta}{2} &
-(iu_x + u_y)\sin\frac{\theta}{2} \\
(-iu_x + u_y)\sin\frac{\theta}{2} &
\cos\frac{\theta}{2} + iu_z\sin\frac{\theta}{2}
\end{array}\right)\in \text{SU} (2)</math>
Cette matrice définit une transformation dans l'espace des spineurs qu'on qualifie également de rotation{{sfn|Hladik|2008|p=96}}. Puisque l'angle d'une rotation euclidienne est défini modulo <math>2\pi</math>, à cette rotation sont en fait associées deux matrices de SU(2) : la précédente et
<math>U(\textbf{u}, \theta/2+\pi)=-U(\textbf{u}, \theta/2)</math>.

=== Lien avec les matrices de Pauli ===

Les [[matrices de Pauli]]  <math>\sigma_i</math> donnent des [[générateur infinitésimal|générateurs infinitésimaux]] du [[groupe de Lie]] SU(2).

Considérons une direction quelconque dans laquelle nous aimerions observer la projection du spin : <math>\vec u = \sin\theta\cos\varphi \vec u_x + \sin\theta\sin\varphi\vec u_y + \cos\theta\vec u_z</math>. La matrice représentant l'opérateur s'exprime dans la base <math>(|+\rangle_z,|-\rangle_z)</math> :

<math>S_{\vec u} = \vec u \cdot \vec\sigma = \left(\begin{array}{cc}\cos\theta & e^{-i\varphi}\sin\theta\\ e^{i\varphi}\sin\theta & -\cos\theta\end{array}\right)</math>

Il est facile de trouver les valeurs propres de cette matrice (+1 et -1), ainsi que les vecteurs propres :

<math>|+\rangle_{\vec u} = \left(e^{-i\varphi/2}\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle_z + e^{i\varphi/2}\sin\frac{\theta}{2}|-\rangle_z\right)</math>
<math>|-\rangle_{\vec u} = \left(e^{-i\varphi/2}\sin\frac{\theta}{2}|+\rangle_z - e^{i\varphi/2}\cos\frac{\theta}{2}|-\rangle_z\right)</math>

Il est alors aisé de voir que lors d'une rotation de <math>(\theta = 2\pi, \varphi=0)</math> le vecteur propre se transforme en son opposé. Il faut une rotation de <math>(\theta=4\pi,\varphi=0)</math> pour laisser le vecteur propre [[invariant]]. De même pour <math>(\theta=0,\varphi = 2\pi \mbox{ ou } 4\pi)</math>.

== Analogies courantes ==

=== La torsion de la main ===

[[Fichier:Tari Piring (Plate Dance) Performance - May 2011.JPG|vignette|Le {{Lien|langue=en|trad=Tari Piring|fr=Tari Piring}} est une danse indonésienne dans laquelle les assiettes doivent rester en position horizontale dans la paume.]]
Le système « paume de la main - épaule » donne une bonne idée de ce qu'un mouvement de rotation de 360° de la paume puisse ne pas donner de retour à l'état initial pour le système entier, alors qu'un mouvement de 720° le permet. 

Pour que le mouvement physique convienne, il faut que la main reste horizontale, paume vers le haut, à tout moment. Certaines [[Danse traditionnelle|danses traditionnelles]] utilisent des mouvements de ce type : en Indonésie se pratiquent une  {{Lien|langue=en|trad=Candle dance|fr=danse des bougies}}, ou {{Lien|langue=en|trad=Tari Piring|fr=Tari Piring|texte=des assiettes}}. 

Le mouvement pertinent se fait en partant bras étendu devant soi, puis en faisant tourner progressivement la main autour d'un axe vertical qui serait situé un peu en arrière du poignet. Une torsion du bras s'ensuit, mais le mouvement est possible. Après un mouvement de rotation de 360°, la position est inconfortable, avec le coude relevé, et l'ensemble du bras ne peut être considéré dans un état proche de l'initial, bien que la paume de la main soit elle revenue à sa position d'origine, sans que l'épaule ait radicalement bougé.

En poursuivant la rotation de la paume ''dans le même sens'', au lieu de se tordre plus encore, le bras se détord complètement, et à l'issue d'un mouvement de rotation de 720° de la paume de la main autour de l'axe vertical, l'ensemble du corps est revenu à la position de départ<ref>Ce mouvement est décrit et illustré par exemple ''in'' {{Berger2}}, chapitre 10, section 8.3. L'auteur l'évoque sous le nom de "tour du bol de soupe".</ref>.

=== La boucle de ceinture ===
[[Fichier:Belt trick 1.gif|vignette|Une des variantes du "tour de la ceinture" : ici la ceinture est extensible et les deux extrémités sont fixées. Les mouvements relatifs sont comparables.]]
Une autre analogie fréquemment employée est celle d'une ceinture avec boucle. L'extrémité opposée à la boucle est supposée fixée, tandis que la boucle est mobile. Là aussi il y a une limitation sur les mouvements permis : la boucle doit rester en permanence parallèle à sa position initiale, ce qui empêche de tordre et détordre la ceinture par les mouvements les plus naturels. Dans sa position initiale, la ceinture est entortillée et il s'agit de la détordre en respectant cette contrainte.

Si la ceinture a subi un seul tour d'entortillement, il est impossible de la détordre. En revanche si la position initiale est entortillée avec deux tours complets, le mouvement est possible <ref>Illustré et commenté par [[Jean-Louis Basdevant]] : {{YouTube|langue=en|id=Nat-EsReXtQ|titre=2 pi rotation is not an identity|date=6 décembre 2008|consulté le=23 août 2020}}</ref>.

== [[Algèbre de Clifford]] et théorie générale ==
{{…}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Article | langue=fr | prénom=Élie | nom=Cartan | lien auteur=Élie Cartan | titre=Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane | périodique=[[Bulletin de la Société mathématique de France|Bull. Soc. Math. Fr.]] | tome=41 | année=1913 | pages=53-96 | oclc=6941126352 | doi=10.24033/bsmf.916 | zbl=44.0170.02 | lire en ligne=http://www.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf | format=pdf | libellé=Cartan 1913}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Jean Hladik]] |titre=Pour comprendre simplement les origines et l'évolution de la Physique quantique |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]] |année=2008 |pages totales=320 |isbn=978-2-7298-3738-9}}.
* {{Chapitre | langue=fr | prénom=Artibano | nom=Micali | titre=Groupes de Clifford et groupes des spineurs | auteurs ouvrage=[[w:en:John Stephen Roy Chisholm|J. S. Roy Chisholm]] et Alan K. Common ({{abréviation discrète|éd.|éditeur(s) et/ou éditrice(s) scientifique(s)}}) | titre ouvrage={{langue|en|texte=Clifford algebras and their applications in mathematical physics}} | traduction titre=Les algèbres de Clifford et leurs applications en physique mathématique | lieu=Dordrecht | éditeur=[[D. Reidel]] | collection={{langue|en|texte=[[Organisation du traité de l'Atlantique nord|NATO]] {{abréviation discrète|ASI|Institut d'études avancées}}}} | série={{langue|en|texte=C : mathematical and physical sciences}} | numéro dans collection=183 | mois={{date-|juillet|compact=oui}} | année=1986 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XVIII}}-592 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=90-277-2308-7 | isbn1= 978-90-277-2308-6 | isbn2=978-94-010-8602-8 | oclc=490054271 | bnf=373580015 | doi=10.1007/978-94-009-4728-3 | sudoc=005679702 | présentation en ligne=https://www.springer.com/fr/book/9789027723086 | lire en ligne={{Google Livres|id=cb3rCAAAQBAJ}} | consulté le=31 novembre 2020 | partie={{chap.|6}} | passage=67-78 | libellé=Micali 1986}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} / sciences | mois={{date-|janvier|compact=oui}} | année=2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-956 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn1=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=31 octobre 2020 | partie={{s.v.}} spineur | passage=697 {{col.|2}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Articles connexes ===
* [[Spin]]
* [[Groupe spinoriel]]
* [[Matrice de Dirac]]
* [[Matrice de Pauli]]
* {{en}} [[:en:Dirac Spinor|Dirac Spinor]]

{{portail|mathématiques|physique}}

[[Catégorie:Tenseur]]
[[Catégorie:Théorie des représentations des groupes de Lie]]
[[Catégorie:Géométrie spinorielle|*]]
[[Catégorie:Fermion]]

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