Keplerren legeak

 

Planeta guztiak Eguzkiaren inguruan higitzen dira, orbita eliptikoak eginez. Eguzkia elipsearen bi fokuetako batean dago.

 

Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina estaltzen du denbora-tarte berdinean.

Perihelioan, eguzkira distantzia txikiagoa denez, abiadura handiagoa izan behar da azalera berdina ekortzeko, eta afelioan, distantzia handiagoa denez, abiadura txikiagoa izango da.

 

Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua, Eguzkirako batez besteko distantziaren kuboarekiko proportzionala da.

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$ 

non,

• ${\displaystyle T\;}$ : planetaren orbita-periodoa
• ${\displaystyle a\;}$ : Eguzkirainoko distantzia

Honek bi planeten periodoak erlazionatzen ditu, eguzkira distantziaren arabera, biak proportzionalak direlako: T₁ eta T₂ planeten periodoak badira, eta a₁ eta a₂ ardatzerdi nagusiak, bien arteko erlazioa honako hau da:

${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}}$ 

Keplerrek, zuezkan datuekin, erlazioak aurkitu zituen, baina ez zekien zergatik ziren horrela. Mende erdi geroago, Newtonek aurkitu zuen azalpena, beraren legeen bidez.

Newtonek esan zuenez, objektu batek beste bat erakartzen du bien arteko irudizko lerroan zehar, masari proportzionala eta distantziaren karratuari alderantziz proportzionala den indarrez. Azelerazioa, beraz, erradio-bektoreari paraleloa da:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=f(r){\vec {u_{r}}}.}$  (1)

Koordenatu polarrak erabiliz, zinematikan abiadurak eta azelerazioak hurrengo itxura hartzen dute:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\dot {r}}{\vec {u_{r}}}+r{\dot {\theta }}{\vec {u_{\theta }}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {u_{r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\vec {u_{\theta }}}}$ 

Azken ekuazio hau (1) ekuazioarekin berdinduz:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r)}$  (2)

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$ 

Bigarren ekuazioa txukunduz,

${\displaystyle r{\frac {d{\dot {\theta }}}{dt}}+2{\frac {dr}{dt}}{\dot {\theta }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}}$ 

ekuazio diferentzial bat gelditzen zaigu. Ekuazio hau ebaztuz:

${\displaystyle \log {\dot {\theta }}=-2\log r+\log h\quad \Rightarrow \quad \log h=\log r^{2}+\log {\dot {\theta }}\quad \Rightarrow \quad h=r^{2}{\dot {\theta }}=kte.}$ 

${\displaystyle h\,}$  konstantea aurkitzen dugu, integrazio konstantea baitzen. Konstante hau momentu angeluar espezifikoa da.

Orain aldagai aldaketa bat egingo dugu, r = 1/u, eta horren menpe azelerazioa kalkulatu:

${\displaystyle r={\frac {1}{u}}}$  (3)

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{du}}{\frac {du}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {\theta }}{\frac {du}{d\theta }}=-h{\frac {du}{d\theta }}}$ 

${\displaystyle {\ddot {r}}=-h{\frac {d}{dt}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)=-h{\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-h^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}}$  (4)

Newtonen grabitazioaren legetik dakigunez, indar espezifikoa hurrengoa da:

${\displaystyle f\left({\frac {1}{u}}\right)=f(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}=-GMu^{2}}$  (5)

Ondorioz, (2) ekuazioan (3), (4) eta (5) sartuz, hurrengoa gelditzen da:

${\displaystyle -h^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\ -\ h^{2}u^{3}=f(r)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\ +\ u=-{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\ +\ u={\frac {GM}{h^{2}}}}$ 

Hau ekuazio diferentzial bat da, soluzio orokorra

${\displaystyle u={\frac {GM}{h^{2}}}{\bigg [}1+e\cos(\theta -\theta _{0}){\bigg ]}}$ 

duena.

Azkenik, θ₀=0 hartuz, eta aldagai aldaketa deseginez, erradioaren formula daukago angeluaren menpe:

${\displaystyle r={\frac {1}{u}}={\frac {h^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}}$ 

Ekuazio hau konika batena da, e eszentrikotasuna eta jatorria foku batean dituenak. Beraz, ikusten denez, lehenengo legea Newtonen mugimendu eta grabitazio legeetatik atera daiteke.

Definizioz, m masa eta v abiadura duen objektu baten momentu angeluarra, L,

${\displaystyle {\vec {L}}\equiv {\vec {r}}\wedge {\vec {p}}={\vec {r}}\wedge (m{\vec {v}})={\vec {r}}\wedge m{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}$  da.

Momentu angeluarra deribatuz:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=({\vec {r}}\wedge m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}})+\left({\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\wedge m{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right)=({\vec {r}}\wedge {\vec {F}})+({\vec {v}}\wedge {\vec {p}})=0}$  da,

indarra, lehen esan bezala, erradioari paraleloa delako, baita v abiadura eta p higidura-kantitatea (p = mv), eta bi bektore paraleloren arteko biderketa bektoriala 0 da. Beraz,

${\displaystyle |{\vec {L}}|=kte.}$ 

Bere mugimenduan planeta batek ekortutako azalera r eta dr bektoreek osatzen duten paralelogramoaren erdia da, eta hortik azalera-abiadura atera dezakegu:

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}|{\vec {r}}\wedge d{\vec {r}}|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {r}}\wedge {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}dt\right|={\frac {|{\vec {L}}|}{2m}}dt\Longrightarrow v_{az}={\frac {dA}{dt}}={\frac {|{\vec {L}}|}{2m}}={\frac {|{\vec {h}}|}{2}}}$ 

Ikusi denez, L konstantea da, baita m ere, beraz abiadura ere konstantea izango da.

=== Hirugarren legea === cacot

 

Momentu angeluar espezifikoak, h, honakoak betetzen ditu:

${\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\wedge {\vec {v}}={\frac {\vec {L}}{m}}=kte.}$ 

Orbita eliptiko baten, ardatzerdi nagusiari a deituaz eta txikiari b, erlazio hauek betetzen dituzte, orbitaren ekuaziotik ateratzen direnak:

${\displaystyle a={\frac {h^{2}}{GM(1-e^{2})}}\quad ;\quad b={\frac {h^{2}}{GM{\sqrt {1-e^{2}}}}}\quad \Longrightarrow \quad b={\frac {h}{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a}}}$ 

Orain, T periodoa ateratzeko azalera-abiadura erabiliko dugu. Hau konstantea denez, periodoa azalera eta abiaduraren arteko zatiketa da:

${\displaystyle v_{az}={\frac {\pi ab}{T}}={\frac {h}{2}}\quad \Longrightarrow \quad T={\frac {2\pi ab}{h}}}$ 

b, a-ren menpe dagoenez,

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}={\frac {2\pi }{h}}a{\frac {h}{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}a^{2/3}}$ 

Azkenik, karratua eginez, 3. legea daukagu:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}}$ 

Esan beharra dago ekuazio hau objektuaren masa eguzkiarenaren aldean mespretxagarria denean bakarrik balio duela. Masa hau ez bada mespretxagarria, hurrengo itxura hartzen du:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$ 

Keplerren legeak, orbitatzen ari den objektuaren masa fokuan dagoen objektuaren masaren aldean mespretxagarria bada bakarrik dira zehatzak, eta bi objektu besterik ez direnean.

Newtonek lehenengo legea orokortu egin zuen, ihes-abiadura baino azkarrago mugitzen den objektu batek orbita irekia (parabolikoa edo hiperbolikoa) duela konturatu zenez. Orbitak ez dira, beraz, elipseak, baizik eta edozein konika. Bigarren legea baliogarria da orbita irekientzako, momentu angeluarra kontserbatzen delako, baina hirugarren legeak ez du zentzurik orbita ez delako periodikoa.

Keplerren legeek ez dute erlatibitatea kontuan hartzen, eta ondorioz ez dute ondo azaltzen Merkurioren prezesioa, adibidez. Izan ere, prezesio honen azalpena erlatibitatearen teoria orokorraren froga garrantzitsu bat izan zen haren hastapenetan.

• Keplerren legeak
• Keplerren legeak lantzeko ariketa I.
• Keplerren legeak lantzeko ariketa II.