Eremu-teoria kuantiko

Eremuen teoria kuantikoa XX. mendearen zati handi bat hartu zuten fisikari teorikoen belaunaldien lanetik sortu zen. Bere garapena 1920ko hamarkadan hasi zen argiaren eta elektroien arteko interakzioen deskribapenarekin, eta eremuen lehen teoria kuantikoarekin amaitu zuen: elektrodinamika kuantikoarekin. Laster oztopo teoriko garrantzitsu bat sortu zen, kalkulu asaldagarrietan infinitu batzuk agertu eta iraun zutelako. Arazo hori 1950eko hamarkadan konpondu zen, birormalizatzeko prozedura asmatu zenean. Bigarren oztopo garrantzitsu bat QFTk interakzio ahul eta indartsuak deskribatzeko duen itxurazko ezintasuna izan zen, teoriko batzuek eremuen teoriaren ikuspegia bertan behera uzteko eskatzeraino. Gauge teoriaren garapenak eta 1970eko hamarkadan Eredu Estandarra amaitzeak eremuen teoria kuantikoaren berpizkundea ekarri zuten.

 

Eremuen teoria kuantikoa eremuen teoria klasikoaren, mekanika kuantikoaren eta erlatibitate bereziaren konbinazioaren emaitza da.^[1] Hona hemen aitzindari teoriko horien laburpen bat:

Arrakasta izan duen eremu klasikoko lehen teoria Newtonen grabitazio unibertsalaren legetik sortutakoa da, 1687ko Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica tratatuan eremuaren kontzeptua erabat falta izan arren. Grabitatearen indarra, Newtonek deskribatzen duen bezala, "urrutiko ekintza" bat da: urrutiko objektuetan dituen efektuak berehalakoak dira, distantzia kontuan hartu gabe. Hala ere, Richard Bentleyrekin egindako gutun truke batean Newtonek adierazi zuenez, "Pentsaezina da materia gordin bizigabeak, materiala ez den beste zerbaiten bitartekaritzarik gabe, beste gai batean eragitea eta elkarrekiko kontakturik gabe eragitea".^[2] XVIII. mendera arte ez zuten fisikari matematikoek grabitatearen deskribapen egoki bat aurkitu, eremuetan oinarritua: zenbaki kopuru bat (bektore bat), espazioko puntu bakoitzari esleitua, grabitateak puntu horretako edozein partikularen gainean duen eragina adierazten duena. Baina hori trikimailu matematiko hutsa izan zen.^[3]

Eremuak existentzia propioa izaten hasi ziren XIX. mendean elektromagnetismoa garatu zenean. Michael Faradayk ingelesezko "field" hitza sortu zuen 1845ean. Eremuak efektu fisikoak dituzten espazioaren propietate gisa sartu zituen (baita materiarik ez duenean ere). "Urrutiko ekintzaren" aurka agertu zen, eta proposatu zuen objektuen arteko elkarrekintzak espazioa betetzen duten "indar-lerroen" bidez gertatzen direla. Eremuen deskribapen hori gaur arte mantendu da.^[2][4][5]

Elektromagnetismo klasikoaren teoria 1864an osatu zen Maxwellen ekuazioekin, eremu elektrikoaren, eremu magnetikoaren, korronte elektrikoaren eta karga elektrikoaren arteko erlazioa deskribatzen zutenak. Maxwellen ekuazioek uhin elektromagnetikoen existentzia zekarten; fenomeno horren bidez, eremu elektrikoak eta magnetikoak espazio-puntu batetik bestera hedatzen dira abiadura mugatu batean, argiaren abiadura, alegia. Urrutiko ekintza era eztabaidaezinean ezeztatzen zen.^[2]

Elektromagnetismo klasikoaren arrakasta izugarria izan arren, ezin izan zituen azaldu espektro atomikoen lerro diskretuak, ezta gorputz beltzaren erradiazioaren banaketa uhin-luzera desberdinetan ere.^[6] Max Planckek gorputz beltzaren erradiazioari buruz egindako ikerketak mekanika kuantikoaren hasiera markatu zuen. Erradiazio elektromagnetikoa xurgatzen eta igortzen duten atomoak osziladore txiki gisa tratatu zituen, propietate erabakigarri batekin: haien energiek balio diskretu batzuk baino ezin dituzte hartu, jarraituak izan beharrean. Oszilatzaile harmoniko kuantikoak esaten zaie. Energia balio diskretuetara mugatzeko prozesu horri kuantifikazioa esaten zaio.^[7] Ideia horretatik abiatuz, Albert Einsteinek 1905ean efektu fotoelektrikoaren azalpen bat proposatu zuen, zeinaren arabera argia fotoi izeneko energia pakete indibidualez osatuta dagoen. Horrek esan nahi zuen erradiazio elektromagnetikoa, eremu elektromagnetiko klasikoan uhinak izan arren, partikulen forman ere existitzen dela.^[6]

1913an, Niels Bohr-ek egitura atomikoaren Bohr eredua sartu zuen, zeinaren arabera atomoen elektroiek energia diskretu batzuk baino ezin dituzten hartu, jarraituak izan beharrean. Hori da kuantifikazioaren beste adibide bat. Bohr-en ereduak arrakastaz azaldu zuen lerro espektral atomikoen izaera diskretua. 1924an, Louis de Brogliek uhin-partikula dualtasunaren hipotesia proposatu zuen, zeinaren arabera partikula mikroskopikoek uhin zein partikula propietateak dituzten hainbat egoeratan.^[6] Ideia sakabanatu horiek elkartuz, 1925 eta 1926 artean diziplina koherente bat formulatu zen, mekanika kuantikoa, Max Planck, Louis de Broglie, Werner Heisenberg, Max Born, Erwin Schrödinger, Paul Dirac eta Wolfgang Pauliren ekarpen garrantzitsuekin.^[3]

Efektu fotoelektrikoari buruzko artikuluaren urte berean, Einsteinek erlatibitate bereziaren teoria argitaratu zuen, Maxwellen elektromagnetismoan oinarrituta. Arau berriak eman ziren, Lorentzen eraldaketa izenekoak, gertakari baten denbora- eta espazio-koordenatuak nola aldatzen diren behatzailearen abiadura-aldaketen aurrean, eta denboraren eta espazioaren arteko bereizketa lausotu egin zen.^[3] Lege fisiko guztiek berdinak izan behar zutela proposatu zen abiadura desberdinetako behatzaileentzat, hau da, Lorentzen eraldaketen pean lege fisikoak aldaezinak izatea.

Bi zailtasun gelditzen ziren. Behaketaren ikuspuntutik, mekanika kuantikoaren azpian dagoen Schrödingerren ekuazioak atomoen erradiazio emisio estimulatua azal zezakeen, non elektroi batek kanpoko eremu elektromagnetiko baten eraginpean fotoi berri bat igortzen duen, baina ezin zuen berezko emisioa azaldu, non elektroi batek bere energia berez murrizten duen eta fotoi bat igortzen duen, baita kanpoko eremu elektromagnetiko baten ekintzarik gabe ere. Ikuspegi teorikotik, Schrödingerren ekuazioak ezin zituen fotoiak deskribatu eta ez zetorren bat erlatibitate bereziaren printzipioekin, denbora zenbaki arrunt gisa tratatzen baitzuen eta espazio-koordenatuak operadore lineal bihurtzen baitzituen.

Eremuen teoria kuantikoa naturalki hasi zen elkarreragin elektromagnetikoen azterketarekin, eremu elektromagnetikoa baitzen 1920ko hamarkadan ezagutzen zen eremu klasiko bakarra.^[8]

Born, Heisenberg eta Pascual Jordanen lanei esker, 1925-1926an, eremu elektromagnetiko askearen teoria kuantiko bat garatu zen (materiarekin interakziorik gabe) kuantizazio kanonikoaren bidez, eremu elektromagnetikoa oszilatzaile harmoniko kuantiko multzo gisa tratatuz. Hala ere, interakzioak baztertuta, teoria hori oraindik ez zen gai munduari buruzko aurreikuspen kuantitatiboak egiteko.^[3]

1927ko bere artikulu garrantzitsuan, The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Diracek elektrodinamika kuantikoa (QED) terminoa sortu zuen, eremu elektromagnetiko askea deskribatzen duten terminoei korronte elektrikoaren dentsitatearen eta potentzial bektorial elektromagnetikoaren arteko interakzio termino gehigarri bat gehitzen dien teoria. Lehen mailako asalduren teoria erabiliz, arrakastaz azaldu zuen bat-bateko igorpenaren fenomenoa. Mekanika kuantikoaren ziurgabetasun-printzipioaren arabera, osziladore harmoniko kuantikoak ezin dira geldirik egon, baizik eta energia minimoa dute, ez nulua, eta beti oszilatzen egon behar dute, baita energia gutxiagoko egoeran ere (oinarrizko egoera). Beraz, hutsune perfektu batean ere, zero puntuko energia duen eremu elektromagnetiko oszilatzaile bat dago. Hutseko eremu elektromagnetikoen fluktuazio kuantiko horrek "estimulatzen" du atomoetan elektroiek berez igortzen duten erradiazioa. Diracen teoriak arrakasta handia izan zuen atomoen erradiazioaren igorpena eta xurgapena azaltzeko garaian; bigarren mailako perturbazioen teoria aplikatuz, fotoien dispertsioa, erresonantzia-fluoreszentzia eta Compton dispertsio ez-erlatibista azaltzeko gai izan zen. Hala ere, goragoko mailako perturbazioen teoriaren aplikazioa kalkuluetan amaigabeko arazoz beteta zegoen.^[6]

1928an, Dirac-ek uhin-ekuazio bat idatzi zuen, elektroi erlatibistak deskribatzen zituena: Dirac-en ekuazioa. Ondorio garrantzitsu hauek izan zituen: elektroi baten espina 1/2 da; elektroiaren g faktorea 2 da; Sommerfelden formula zuzenera eraman zuen hidrogeno atomoaren egitura finerako; eta Compton dispertsio erlatibistarako Klein-Nishina formula deribatzeko erabili ahal izan zen. Emaitzak emankorrak izan ziren arren, teoriak itxuraz energia-egoera negatiboak egotea ere bazekarren, eta horrek atomoak ezegonkorrak izatea eragingo luke, erradiazio-igorpenagatik energia-egoera baxuagoetara jaitsi baitaitezke beti.^[6]

Garai hartako iritzi nagusia zen mundua bi osagai oso ezberdinek osatzen zutela: partikula materialak (elektroiak bezala) eta eremu kuantikoak (fotoiak bezala). Partikula materialak betikotzat jotzen ziren, eta haien egoera fisikoa espazioko edo abiadura-mailako edozein eskualdetan partikula bakoitza aurkitzeko probabilitateen arabera deskribatzen zen. Bestalde, fotoiak azpiko eremu elektromagnetiko kuantifikatuaren egoera kitzikatutzat jotzen ziren soilik, eta libreki sortu edo suntsi zitezkeen. 1928 eta 1930 artean Jordan, Eugene Wigner, Heisenberg, Pauli eta Enrico Fermik partikula materialak eremu kuantikoen egoera kitzikatutzat ere har zitezkeela aurkitu zuten. Fotoiak eremu elektromagnetiko kuantizatuaren egoera kitzikatuak diren bezala, partikula mota bakoitzak bere eremu kuantikoa zuen: elektroi eremu bat, protoi eremu bat, etab. Energia nahikoarekin, partikula materialak sortzea posible izango litzateke. Ideia horretatik abiatuta, Fermik 1932an Fermiren interakzioa izenez ezagutzen den beta desintegrazioaren azalpena proposatu zuen. Nukleo atomikoek ez dute elektroirik per se, baina desintegrazio-prozesuan elektroi bat sortzen da inguruko elektroien eremutik abiatuta, atomo eszitatu baten desintegrazio erradiatiboaren inguruko eremu elektromagnetikotik sortutako fotoiaren antzera.^[3]

1929an, Dirac eta beste batzuk konturatu ziren Diracen ekuazioan inplizituki zeuden energia negatiboko egoerak ezabatu egin zitezkeela, elektroien masa bera zuten baina kontrako karga elektrikoa zuten partikulak zeudela suposatuz. Horrek atomoen egonkortasuna ziurtatzeaz gain, antimateriaren lehen proposamena ere izan zen. Izan ere, positroien ebidentzia 1932an aurkitu zuen Carl David Andersonek izpi kosmikoetan. Energia nahikoarekin, fotoi bat xurgatzean adibidez, pare elektroniko-positroi bat sor zitekeen, bikoitien ekoizpena deritzon prozesu bat; alderantzizko prozesua, deuseztatzea, fotoi baten igorpenarekin ere gerta zitekeen. Horrek erakutsi zuen partikula kopuruak ez duela zertan finkoa izan elkarrekintza batean. Hala ere, historikoki, positroiak elektroi itsaso infinitu bateko "zulo" gisa hartu ziren hasieran, partikula mota berri baten ordez, eta teoria horri Dirac-en zuloen teoria deitu zitzaion.^[6][3] QFTk naturalki txertatu zituen antipartikulak bere formalismoan.^[3]

Robert Oppenheimerrek 1930ean frogatu zuen QEDen ordena goragoko kalkulu asaldatzaileek beti ematen zutela emaitza gisa kopuru amaigabeak, hala nola elektroiaren autoenergia eta elektroiaren eta fotoiaren eremuen hutseko zero puntuko energia,^[6] eta horrek iradokitzen zuen garaiko metodo konputazionalek ezin zutela behar bezala tratatu fotoiak une oso altuetan esku hartzen zuten interakzioak.^[3] 20 urte igaro arte ez zen ikuspegi sistematiko bat garatu infinitu horiek ezabatzeko.

1934 eta 1938 bitartean, Ernst Stueckelbergek QFTren formulazio erlatibista inbariantea ezartzen zuten artikulu batzuk argitaratu zituen. 1947an, Stueckelbergek ere modu independentean garatu zuen birormalizatzeko prozedura oso bat. Zoritxarrez, lorpen horiek ez zituen komunitate teorikoak ulertu eta aitortu.^[6]

Infinitude horien aurrean, John Archibald Wheelerrek eta Heisenbergek proposatu zuten, 1937an eta 1943an, hurrenez hurren, QFT problematikaren ordez, S matrizearen teoria erabiltzea. Izan ere, elkarrekintza mikroskopikoen xehetasun espezifikoak behaketetara iristezinak direnez, teoriak behagarri kopuru txiki baten arteko erlazioak deskribatzen saiatu beharko luke (adibidez, atomo baten energia) interakzio batean, interakzioaren xehetasun mikroskopikoez arduratu beharrean. 1945ean, Richard Feynman eta Wheeler QFT erabat uztea iradokitzera ausartu ziren, eta urrutiko ekintza proposatu zuten partikulen arteko interakzioen mekanismo gisa.^[3]

1947an, Willis Lambek eta Robert Retherfordek hidrogeno atomoaren ²S_1/2 eta ²P_1/2 energia-mailen arteko alde txikia neurtu zuten, Lamb desplazamendua ere deitua. Elektroiaren masa gainditzen duten energia duten fotoien ekarpena alde batera utzita, Hans Bethek arrakastaz kalkulatu zuen Lamb desplazamenduaren zenbakizko balioa.^[6][3] Ondoren, Norman Myles Kroll, Lamb, James Bruce French eta Victor Weisskopfek balio hori berretsi zuten, infinituek beste infinitu batzuk deuseztatzen zituzten ikuspegi bat erabiliz, kopuru finituak sortzeko. Hala ere, metodo hori baldarra eta fidagarria zen, eta ezin zen beste kalkulu batzuetara orokortu.^[6]

Azkenean, 1950ean, Julian Schwinger, Richard Feynman, Freeman Dyson eta Shinichiro Tomonagak metodo sendoagoa garatu zuten infinituak ezabatzeko. Ideia nagusia masa eta kargaren balio kalkulatuak infinituengatik ordezkatzea da, haien balio neurtu finituengatik. Prozedura konputazional sistematiko horri birormalizazio esaten zaio, eta nahasmenduen teorian ordena arbitrario bati aplika dakioke. Tomonagak Nobel sariaren hitzaldian esan zuen bezala:

Eremu-erreakzioen ondorioz eraldatutako masaren eta kargaren zati horiek [amaigabeak bihurtzen dira] direnez, ezinezkoa da horiek teoriaren bidez kalkulatzea. Hala ere, esperimentuetan behatutako masa eta karga ez dira jatorrizko masa eta karga, baizik eta eremu erreakzioek eraldatutako masa eta karga, eta finituak dira. Aldiz, teorian agertzen diren masa eta karga dira... eremu-erreakzioek aldatutako balioak. Hori horrela denez, eta batez ere teoriak masa eta karga eraldatuak kalkulatu ezin dituelako, horien ordez balio esperimentalak erabiltzeko prozedura erabil dezakegu modu fenomenologikoan... Prozedura horri masaren eta kargaren birormalizazioa deitzen zaio... Kalkulu luze eta neketsuen ondoren, Schwingerrenak bezain trebeak ez zirenak, emaitza bat lortu genuen... amerikarrekin ados zegoena ".^[9]

Birormalizatzeko prozedura aplikatuta, kalkuluak egin ziren, azkenik, elektroiaren momentu magnetiko anomaloa (elektroiaren g faktorearen desbideratzea 2rekiko) eta hutsaren polarizazioa azaltzeko. Emaitza horiek bat etorri ziren neurketa esperimentalekin, maila nabarmenean, "Infinituen aurkako gerra" baten amaiera markatuz.^[6]

Aldi berean, Feynmanek mekanika kuantikoaren ibilbidearen formulazio integrala eta Feynmanen diagramak sartu zituen.^[8] Azken horiek bisualki eta intuitiboki antolatzeko eta hedapen asaldatzailearen terminoak kalkulatzen laguntzeko erabil daitezke. Diagrama bakoitza partikulen ibilbide gisa interpreta daiteke elkarrekintza batean, eta erpin eta lerro bakoitzak dagokion adierazpen matematikoa du, eta adierazpen horien biderkadurak diagramak irudikatutako interakzioaren sakabanatze-zabaltasuna ematen du.^[1] Feynmanen birormalizazio-prozedura eta diagramak asmatu zirenean sortu zen QFT, azkenean, esparru teoriko oso gisa.^[8]

Nahiz eta fisikari gehienek onartu zilegitzat eta behartzat, Schwinger ez zegoen pozik. 1980ko Fermilab-eko Partikulen Fisikaren Historiari buruzko Nazioarteko Sinposioan emandako hitzaldi batean, esan zuen,

Emaitza [esperimental] horien berri emateko presioak egitura teoriko jakin bat sortu zuen, lan originalerako guztiz egokia zena, baina sinplifikazioa eta orokortzea eskatzen zuena; ikuspegi berri bat behar zen... Azken urteetako siliziozko txipa bezala, Feynmanen diagramak masetara eramaten zuen konputazioa... Baina, agian, dena batera jarri behar da berriro, eta orduan ikuspegi zatikatuak bere erakargarritasunaren zati bat galtzen du... Eremuen teoria kuantikoak Bose-Einstein eremuekin eta Fermi-Dirac eremuekin tratatu behar du, oinarri guztiz baliokidean... Hor zegoen nire erronka. - "Elektrodinamika kuantikoaren birormalizazioaren teoria: banakako ikuspegia" Julian Schwingerren eskutik^[10]

Erronka horrek "eremu kuantizatuen teoriari" buruzko sei artikulu ekarri zituen, Physical Review aldizkarian argitaratuak 1951-54an.^[11] Schwingerrek uste zuen teoria berri hori askoz garrantzitsuagoa zela Nobel Saria jaso zueneko birormalizazio-lana baino. Izan ere, 1965ean Nobel saridunaren hitzaldia lan hau deskribatzera bideratu zuen, Einsteinek Nobel sariaren diskurtsoan Erlatibitateaz hitz egin zuen bezala, eta ez efektu fotoelektrikoaren teoriaz, zeinaren bidez saria lortu zuen.

Eremuen teoria kuantiko erlatibista duela hogeita hamabost urte inguru sortu zen, Dirac, Heisenberg, Pauli eta beste batzuen aita-ahaleginei esker. Hala ere, gazte atzeratu samarra izan zen, eta nerabezarora iritsi zen lehen aldiz hamazazpi urte geroago, hemen ospatzeko bilduta gauden gertaera. Baina gaiaren ondorengo garapena eta faserik helduena da gaur labur eztabaidatu nahi dudana.^[12]

QFTko Schwingerren bertsioan, eremuak ez dira zenbaki soilen bidez deskribatzen; dimentsio infinituko Hilberten espazio bateko bektoreen bidez deskribatzen dira, eta eremu bakoitzerako bektore horietan eragiten duen operadore bat dago - Hortik Schwinger izena "eremu Operadoreen Teoria". Hilberten espazioaren erabilera horrek eremu-kontzeptu honetara garamatza:

...bi kontzeptu klasiko desberdin hauek [partikulak eta uhinak] kontrapartida klasikorik ez duen zerbaitetan fusionatu eta gainditzen dira: kontzeptu propio berri bat den eremu kuantizatua, dualtasun klasikoa ordezkatzen duen batasuna.^[13]

Kuantoak batzuetan eremu batean kitzikapen deitzen dira, baina horrek ez du dena esaten. Zatitu ezin den landa-unitate holistiko bat da.

Elektroia elektroiaren eremu kuantikoaren uhin kuantifikatu bat da, partikula bat bezala jokatzen duena, holistikoki bidaiatzen duelako bere kantitate kontserbatuekin beti unitate bat bezala eutsita.^[14]

Kuanto bat... osotasuneko edo ezerezeko izaera du: erabat presente dago edo erabat falta da. Ezin da fotoi baten zati bat bakarrik eduki. Guztiaren edo ezerezaren izaera horrek esan nahi du berehala gehitu edo kendu behar dela zenbaki oso bat... kilometro askotan banatuta egon arren. Ezin da gauza baten zati bat aldatu zatirik ez duelako; gauza bakarra da.^[15]

Schwingerren teoriak Mekanika Kuantikoaren paradoxei eta misterioei erantzutean arrakasta izan duen arren,^[16] gaur egun ahaztu edo ahaztu egin da. Arrazoietako bat da bat-bateko kolapsoaren ideiak fisikari asko kezkatzen dituela, Einstein barne, urrutiko ekintza fantasmala deitu ziona. Hala ere, gertaera esperimentala da^[17] eta ez du erlatibitatearen printzipioa urratzen, prozesuan ez baita informaziorik transmititzen. Eremu bat ezabatzea zerbait egiteko aukera izan aurretik, edo eremu baten biraketa (edo beste propietate bat) aldatzea zerbait aldatu baino lehen, ez da gauza bera gertatu den zerbait aldatzea.^[16] Beste arrazoi bat da Schwingerren ondorengo lan hau ez zela ondo ulertu fisikarien elkartean.

Eta horrela tragedia bat gertatu zen. Schwingerrek gauzak bere erara egiteko zuen beharrak bere hizkuntza propioa, bere ikuspegi eta teknika propioak... gararazi zizkion. Isolatu ahala, jende gutxiagok ulertzen eta hitz egiten zituen sortu zituen hizkuntza berriak... isolamendu handiagoa lortzen lagunduz... Elkar galtzea izan zen, Schwinger eta komunitatea galtzaile atera baitziren.^[18]

QEDen arrakasta izugarria zela eta, teoriko askok uste izan zuten, 1949aren ondorengo urte gutxietan, QFTk laster fenomeno mikroskopiko guztien ulermena eman zezakeela, ez bakarrik fotoi, elektroi eta positroien arteko elkarrekintzena. Baikortasun horren aurka, QFT beste depresio garai batean sartu zen, ia bi hamarkada iraun zuena.^[3] Lehenengo oztopoa birormalizazio-prozeduraren aplikagarritasun mugatua zen. QEDen kalkulu perturbatiboetan, kantitate infinitu guztiak ken litezke kantitate fisikoen kopuru txiki bat (mugatua) birdefinituz (zehazki, masa eta elektroiaren karga). Dysonek 1949an frogatu zuen hori "teoria birnormalizagarriak" izeneko teoria klase txiki batentzat bakarrik dela posible, eta teoria horien adibide bat QED dela. Hala ere, teoria gehienak, Fermiren elkarrekintza ahularen teoria barne, "Ez dira berriz normalizagarriak". Teoria hauetan lehen ordenatik haragoko edozein kalkulu asaldatzailek infinituak sortuko lituzke, kantitate fisikoen kopuru mugatu bat birdefinituz ezabatu ezin daitezkeenak.^[3] Bigarren arazo garrantzitsua Feynmanen diagramaren metodoaren baliozkotasun mugatuaren ondorio da, perturbazioen teorian serieko hedapen batean oinarritzen dena. Seriea bateratzea eta ordena baxuko kalkuluak hurbilketa egokia izan daitezen, akoplamendu-konstanteak, zeinetan seriea hedatzen baita, zenbaki nahikoa txikia izan behar du. QEDeko akoplamendu-konstantea ${\displaystyle {\ce {\alpha \approx 1/137}}}$  egitura fineko konstantea da, eta hori nahikoa txikia da kalkulu errealistetan Feynmanen diagrama errazenak eta ordena txikiagokoak soilik kontuan hartzeko. Aitzitik, elkarrekintza indartsuaren akoplamendu-konstantea bataren ordenakoa da gutxi gorabehera, eta, horren ondorioz, Feynmanen diagrama konplexuak, gorenekoak, sinpleak bezain garrantzitsuak dira. Beraz, ez zegoen aurreikuspen kuantitatibo fidagarririk deribatzeko interakzio sendorako QFT metodo asaldatzaileak erabiliz.^[3]

Zailtasun horien aurrean, teoriko asko QFTtik urruntzen hasi ziren. Batzuk simetria-printzipioetan eta kontserbazio-legeetan zentratu ziren, eta beste batzuek Wheeler eta Heisenbergen S matrizearen teoria zaharrari heldu zioten. QFT modu heuristikoan erabili zen printzipio gidari gisa, baina ez kalkulu kuantitatiboen oinarri gisa.^[3] Schwingerrek, ordea, beste bide bat hartu zuen. Hamarkada batez baino gehiagoz, bera eta bere ikasleak izan ziren eremuen teoriaren adierazle ia bakarrak,^[19] baina 1966an infinituen arazoa gainditzeko modu bat aurkitu zuen, iturrien teoria deitu zuen metodo berri batekin.^[20] Ikuspuntu berria arrakasta handiagoz aplikatu zen pioien fisikan izandako aurrerapenek konbentzitu zuten haren erabilerak ematen zituen sinpletasun matematikoaren eta argitasun kontzeptualaren abantaila handiez.^[21]

Iturrien teorian ez dago ez desadostasunik ez birormalizaziorik. Eremuen teoria kalkulatzeko tresnatzat har daiteke, baina orokorragoa da.^[22] Iturrien teoria erabiliz, Schwingerrek elektroiaren une magnetiko anomaloa kalkulatu ahal izan zuen, 1947an jada egin zuena, baina oraingoan kantitate infinituei buruzko "distrakzio behaketarik" gabe.^[19]

Schwingerrek iturrien teoria grabitatearen QFT teoriari ere aplikatu zion, eta Einsteinen lau emaitza klasikoak erreproduzitzeko gai izan zen: grabitazioaren eta gorriaren arteko desplazamendua, grabitatearen ondoriozko argiaren desbideratzea eta moteltzea, eta Merkurioren perihelioaren prezesioa.^[21] Komunitate fisikoak iturrien teoria bertan behera utzi izana desengainu handia izan zen Schwingerrentzat:

Beste batzuek ez zituzten gertaera horiek aintzat hartu, eta hori deprimigarria izan zen, baina ulergarria. - J.Schwinger^[21]

 

1954an, Yang Chen-Ningek eta Robert Millsek QEDen simetria lokala orokortu zuten, gauge teoria ez-abelianoak (Yang-Millsen teoriak ere esaten zaie) sortuz, tokiko simetria talde zailagoetan oinarritzen direnak.^[23] QED teorian, kargatutako partikulek (elektrikoki) fotoien elkartrukearen bidez eragiten dute, eta gauge ez-abeliar teorian, berriz, karga mota berri bat daramaten partikulek masarik gabeko gauge bosoien elkartrukearen bidez eragiten dute. Fotoiak ez bezala, gauge bosoi hauek karga dute.^[3][24]

Sheldon Glashowk 1960an garatu zuen Gauge teoria ez abeliarra, elkarreragin elektromagnetiko eta ahula bateratzen zuena. 1964an, Abdus Salam eta John Clive Ward teoria berera iritsi ziren beste bide batetik. Teoria hori, ordea, ezin zen berriz normalizatu.^[25]

Peter Higgsek, Robert Broutek, François Englertek, Gerald Guralnikek, Carl Hagenek eta Tom Kibblek Physical Review Lettersen artikulu ospetsuetan proposatu zuten Yang-Millsen teorietako gauge simetria hautsi egin zitekeela berezko simetria-haustura izeneko mekanismo baten bidez, zeinaren bidez gauge bosoiek, jatorrian, masarik gabe, lor zezaketen.^[23]

Glashow, Salam eta Warden aurreko teoria simetriaren bat-bateko hausturaren ideiarekin konbinatuz, Steven Weinbergek 1967an leptoi guztien arteko elkarreragin elektroahula eta Higgsen bosoiaren efektuak deskribatzen dituen teoria bat idatzi zuen.^[25][23] Hasieran, bere teoria alde batera utzi zen gehienbat, harik eta 1971n Gerard 't Hooft-en frogari esker berriro argitara atera zen arte, alegia, gauge teoria ez-abeliarrak birnormalizagarriak direla. Weinberg eta Salamen teoria elektroahula 1970ean zabaldu zuten Glashow, John Iliopoulos eta Luciano Maianik, leptoietatik quarketara.^[25]

Harald Fritzschek, Murray Gell-Mannek eta Heinrich Leutwylerrek 1971n aurkitu zuten elkarrekintza indartsuarekin lotutako fenomeno batzuk abeldarra ez den gauge teoriaren bidez ere azal zitezkeela. Horrela sortu zen kromodinamika kuantikoa (QCD). 1973an, David Grossek, Frank Wilczekek eta Hugh David Politzerrek frogatu zuten gauge teoria ez-abeliarrak "asintotikoki askeak" direla, eta horrek esan nahi du, birormalizazio pean, elkarrekintza indartsuaren akoplamenduaren konstantea murriztu egiten dela elkarrekintzaren energia handitzen den heinean. (Lehenago ere askotan egin izan dira antzeko aurkikuntzak, baina neurri handi batean alde batera utzi izan dira).^[23] Beraz, energia handiko elkarrekintzetan behintzat, QCDko akoplamendu-konstantea serieko hedapen asaldagarria justifikatzeko bezain txikia bihurtzen da, interakzio sendorako aurreikuspen kuantitatiboak posible eginez.^[3] Aurrerapen teoriko horiek QFTren berpizkundea eragin zuten. Teoria osoa, teoria elektroeragilea eta kromodinamika barne hartzen dituena, gaur egun oinarrizko partikulen eredu estandarra bezala ezagutzen da.^[26] Eredu Estandarrak arrakastaz deskribatzen ditu funtsezko elkarreragin guztiak, grabitatea izan ezik, eta haren iragarpen ugariek baieztapen esperimental nabarmena jaso dute hurrengo hamarkadetan.^[8] Higgs bosoia, simetria berez apurtzeko mekanismoaren zentrala, 2012an detektatu zen CERNen, Eredu Estandarraren osagai guztien egiaztapen osoa markatuz.^[27]

1970eko hamarkadan abeliarrak ez diren gauge teorietan metodo ez-asaldatzaileak garatu ziren. 't Hooft-Polyakov monopoloa teorikoki aurkitu zuten 't Hooft eta Alexander Polyakovek, fluxu-hodiak Holger Bech Nielsenek eta Poul Olesenek, eta instantoiak Polyakovek eta bere egilekideek. Objektu horiek eskuraezinak dira asalduren teoriaren bidez.^[8]

Funtsezko lau elkarreraginen artean, grabitateak jarraitzen du izaten QFT deskribapen sendorik ez duen bakarra. Grabitate kuantikoaren teoria bat sortzeko hainbat saiakerak soken teoria garatzera eraman zuten,^[8] zeina, aldi berean, bi dimentsioko QFT mota bat baita, simetria konforme duena.^[28] Joël Scherkek eta John Schwarzek 1974an proposatu zuten lehen aldiz harien teoria grabitatearen teoria kuantikoa izan zitekeela.^[29]

Eremuen teoria kuantikoa oinarrizko partikulen arteko elkarreraginen azterketatik sortu zen arren, arrakastaz aplikatu da beste sistema fisiko batzuetan, bereziki materia kondentsatuaren fisikako gorputz askoren sistemetan.

Historikoki, simetria-haustura espontaneoko Higgs mekanismoa oinarrizko partikulei supereroaleen teoria Yoichiro Nambu aplikatzearen emaitza izan zen, eta birormalizazioaren kontzeptua, berriz, materiaren bigarren mailako fase-trantsizioen azterketatik sortu zen.^[30] Fotoiak sartu eta gutxira, Einsteinek kristal batean bibrazioak kuantifikatzeko prozedura burutu zuen, eta, horren ondorioz, lehenengo kuasipartikula-fonoiak sortu ziren. Lev Landauk baieztatu zuen materia kondentsatuko sistema askotan energia baxuko kitzikapenak kuasipartikula multzo baten arteko elkarreraginen terminoetan deskriba zitezkeela. QFTko Feynmanen diagramaren metodoa oso egokia zen materia kondentsatuko sistemetako hainbat fenomeno aztertzeko.^[31]

Gauge-ren teoria supereroaleen fluxu magnetikoaren kuantizazioa deskribatzeko erabiltzen da, baita erresistibitatea Hall efektu kuantikoaren eta maiztasunaren eta tentsioaren arteko erlazioa ere AC Josephson efektuan.^[31]

Sinplifikatzeko, hurrengo ataletan unitate naturalak erabiltzen dira, zeinetan Planck-en konstante murriztua ${\displaystyle \hbar }$  eta ${\displaystyle c}$  argiaren abiadura bakar batean finkatzen diren.

Eremu klasiko bat espazio- eta denbora-koordenatuen funtzio bat da.^[32] Hona hemen adibide batzuk: grabitazio-eremua ${\displaystyle {\mathbf {g}}({\mathbf {x}},t)}$  grabitate newtonianoan eta eremu elektrikoa ${\displaystyle {\mathbf {E}}({\mathbf {x}},t)}$ eta eremu magnetikoa ${\displaystyle {\mathbf {B}}({\mathbf {x}},t)}$ elektromagnetismo klasikoan. Eremu klasiko bat denboran aldatzen den espazioaren puntu bakoitzari esleitutako zenbakizko kantitatetzat har daiteke. Beraz, askatasun maila amaigabeak ditu.^[32] Propietate mekaniko kuantikoak dituzten fenomeno asko ezin dira eremu klasikoekin bakarrik azaldu. Efektu fotoelektrikoa bezalako fenomenoak hobeto azaltzen dira partikula diskretuekin (fotoiak) eremu espazialki jarraitu batekin baino. Eremuen teoria kuantikoaren helburua mekanika kuantikoaren hainbat fenomeno deskribatzea da, eremuen kontzeptu aldatua erabiliz.

Kuantifikazio kanonikoa eta ibilbideko integralak QFTren bi formulazio komun dira.^[33] QFTaren oinarriak motibatzeko, beharrezkoa da eremu klasikoen teoriaren errepasoa egitea.

Eremu klasiko sinpleena eremu eskalar erreal bat da - zenbaki erreal bat espazioko puntu bakoitzean, denboran zehar aldatzen dena. ${\displaystyle {\mathbf {\phi }}({\mathbf {x}},t)}$  adierazten da, non ${\displaystyle {\mathbf {x}}}$  posizio-bektorea den eta t denbora. Demagun eremuko lagrangiarra, ${\displaystyle L}$  , da

${\displaystyle L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\triangledown \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]}$ ,

non ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  dentsitate lagrangiarra da, ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$  eremuaren denborazko deribatua, ${\displaystyle \triangledown }$  gradiente-operadorea da, eta ${\displaystyle m}$  parametro erreala da (eremuaren « masa »). Lagrangiarrean Euler-Lagrangeren ekuazioa aplikatuz:^[1]

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}}$  eremuaren mugimendu-ekuazioak lortzen ditugu, denboran eta espazioan nola aldatzen den deskribatzen dutenak:

${\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}}$  Hau Klein-Gordonen ekuazioa bezala ezagutzen da.^[1]

Klein-Gordonen ekuazioa uhin-ekuazio bat da, eta, beraz, bere soluzioak modu normalen batuketa gisa adieraz daitezke (Fourierren transformatuaren bidez lortutakoak), honela: ${\displaystyle {\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}}$  non ${\displaystyle a}$  zenbaki konplexu bat den (konbentzioz normalizatua), ${\displaystyle \ast }$  konjugazio konplexua adierazten du, eta ${\displaystyle \omega _{\mathbf {p}}}$  modu arruntaren maiztasuna da:

${\displaystyle {\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}}$  Horrela, ${\displaystyle {\mathbf {p}}}$  bakarrari dagokion modu arrunt bakoitza osziladore harmoniko klasiko gisa ikus daiteke, maiz ${\displaystyle \omega _{\mathbf {p}}}$ .^[1]

Operadore kuantikoaren eremu baten aurreko eremu klasikoa kuantifikatzeko prozedura osziladore harmoniko klasiko batetik osziladore harmoniko kuantiko batera igotzearen antzekoa da.

Osziladore harmoniko klasiko baten desplazamendua honela deskribatzen da: ${\displaystyle {\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}}$  non ${\displaystyle a}$  zenbaki konplexu bat da (konbentzio bidez normalizatua), eta ${\displaystyle \omega }$  osziladorearen maiztasuna da. Ohartu ${\displaystyle x}$  mugimendu harmoniko sinpleko partikula baten desplazamendua dela oreka-posiziotik, eta ez dela nahastu behar eremu kuantiko baten ${\displaystyle {\mathbf {x}}}$  etiketa espazialarekin.

Osziladore harmoniko kuantiko baterako, ${\displaystyle x(t)}$  operadore lineal bat ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {x}}(t)}}$  sustatzen da: ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}}$  ${\displaystyle a}$  eta ${\displaystyle a^{*}}$  zenbaki konplexuen ordez, ${\displaystyle {\hat {a}}}$  deuseztatze-operadorea eta ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$  sortze-operadorea jarriko dira, hurrenez hurren, non ${\displaystyle \dagger }$  konjugazio hermitiarra adierazten duen. Bien arteko kommutazio-erlazioa hau da:

${\displaystyle {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1.}}$  ${\displaystyle |0\rangle }$  hutsune-egoera, energia txikieneko egoera dena, honela definitzen da:

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0.}}$  Osziladore harmoniko sinple baten edozein egoera kuantiko ${\displaystyle |0\rangle }$ tik aurrera lor daiteke, sortze eragilea ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$  hurrenez hurren honako hauei aplikatuz:^[1]

${\displaystyle {\displaystyle |n\rangle =({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle .}}$ 

Arrazoi beragatik, ${\displaystyle \phi }$  eremu eskalar erreala, osziladore harmoniko sinplean ${\displaystyle x}$ -i dagokiona, ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$  eremu kuantikoko operadore bati ere sustatzen zaio; aldiz, ${\displaystyle {\hat {a}}}_{\mathbf {p} }$  deuseztatze-operadorea, ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$  sorkuntza-operadorea eta ${\displaystyle w_{\mathbf {p}}}$  frekuentzia angeluarra ${\displaystyle {\mathbf {p}}}$  partikular baterako dira orain: ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}}$ Hona hemen kommutazio-erlazioak:^[1]

${\displaystyle {\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }]=[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=0,}}$ 

non ${\displaystyle \delta }$  Dirac-en delta funtzioa den. ${\displaystyle |0\rangle }$  hutsune-egoera honela definitzen da: ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad \mathbf {p} {\text{ guztietarako}}.}}$ Eremuko edozein egoera kuantiko ${\displaystyle |0\rangle }$ tik aurrera lor daiteke, hurrenez hurren ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$  sorkuntzako operadoreak aplikatuz, adibidez:

${\displaystyle {\displaystyle ({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger })^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger })^{2}|0\rangle .}}$  Lagrangiarrean agertzen den eremu kuantikoa espazioan jarraitua den arren, eremuaren egoera kuantikoak diskretuak dira. Osziladore harmoniko kuantiko bakarreko egoeren espazioak partikula oszilatzaile baten energia-egoera diskretu guztiak dituen bitartean, eremu kuantiko bateko egoeren espazioak partikula-kopuru arbitrario baten energia-maila diskretuak ditu. Azken espazio hau Fock espazioa bezala ezagutzen da, sistema kuantiko erlatibistetan partikula kopurua finkoa ez dela adieraz dezakeena.^[34] Partikula bakar baten ordez partikula-kopuru arbitrario bat kuantifikatzeko prozesuari bigarren kuantifikazioa ere deitzen zaio.^[1]

Aurreko prozedura mekanika kuantiko ez-erlatibistaren aplikazio zuzena da, eta eremu eskalarrak (konplexuak), Dirac eremuak, eremu bektorialak (eremu elektromagnetikoa, adibidez) eta sokak kuantifikatzeko ere erabil daiteke.^[35] Hala ere, sortzeko eta deuseztatzeko operadoreak elkarrekintzarik ez duten teoria sinpleenetan baino ez daude ondo definituta (teoria librea deritzona). Benetako eremu eskalarraren kasuan, eragile horien existentzia mugimendu-ekuazio klasikoen soluzioak modu normalen batuketa batean deskonposatzearen ondorioa zen. Edozein teoria interaktibo errealistatan kalkuluak egiteko, perturbazioen teoria beharko litzateke. Naturan edozein eremu kuantikotako Lagrangiarrak elkarrekintza-terminoak izango lituzke teoria askearen terminoez gain. Adibidez, elkarreragin kuartikoko termino bat sar liteke eremu eskalar errealeko Lagrangianoan:^[1] ${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}}$ 

Non ${\displaystyle \mu }$  espaziotiempoaren indize bat den, ${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$ , etab. ${\displaystyle \mu }$  indizearen gaineko batura Einsteinen notazioari jarraituz kendu da. ${\displaystyle \lambda }$  parametroa nahikoa txikia bada, aurreko Lagrangiarrak deskribatutako teoria interaktiboa teoria askearen asaldura txikitzat har daiteke.

QFTren ibilbide-integralaren formulazioa interakzio-prozesu jakin baten sakabanatze-anplitudea zuzeneko kalkuluaz arduratzen da, operadoreak eta estatu-espazioak ezarri beharrean. Sistema batek ${\displaystyle t=0}$  denboran ${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$  hasierako egoera batetik ${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$  amaierako egoera batera ${\displaystyle t=T}$  egoeran eboluzionatzeko probabilitate-anplitudea kalkulatzeko, ${\displaystyle T}$  denbora osoa ${\displaystyle N}$  tarte txikitan banatzen da. Anplitude globala bitarte bakoitzaren barruko bilakaera-zabaltasunaren emaitza da, tarteko egoera guztietan integratua. Izan ${\displaystyle H}$  Hamiltoniarra (hau da, denboraren eboluzioaren sorgailua), orduan:^[33]${\displaystyle {\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}}$ 

${\displaystyle N\rightarrow \infty }$  limitea hartuta, aurreko integralen emaitza Feynmanen ibilbidearen integrala bihurtzen da:^[1][33] ${\displaystyle {\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}}$ non ${\displaystyle L}$  lagrangiana da, ${\displaystyle \phi }$  eta bere deribatuak koordenatu espazial eta tenporalekiko inplikatzen dituena, Legendre transformaziotik Hamiltoniar ${\displaystyle H}$ -tik lortua. Ibilbidearen integralaren hasierako eta amaierako baldintzak honako hauek dira, hurrenez hurren:

${\displaystyle {\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}}$  Beste era batera esanda, zabaltasun globala hasierako eta amaierako egoeren arteko bide posible bakoitzaren zabaltasunaren gaineko batura da, non bide baten zabaltasuna integratzailean esponentzialak ematen duen.

Kalkuluetan, askotan, ${\displaystyle {\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }}$ 

bezalako adierazpenak aurkitzen dira teoria aske edo interaktiboan. Hemen, ${\displaystyle x}$  eta ${\displaystyle y}$  posizio-koadribektoreak dira, ${\displaystyle T}$  denbora antolatzeko operadorea da, eta bere operandoak aztertzen ditu ${\displaystyle x^{0}}$  eta ${\displaystyle y^{0}}$  denbora-osagaiak eskuinetik ezkerrera handitzeko, eta ${\displaystyle |\Omega \rangle }$  interakzio-teoriaren oinarrizko egoera da (hutsaren egoera), ${\displaystyle |0\rangle }$  oinarrizko egoera askearen desberdina. Adierazpen honek eremua ${\displaystyle y}$  tik ${\displaystyle x}$  -ra hedatzeko probabilitate-anplitudea adierazten du, eta hainbat izen jasotzen ditu, hala nola, bi punturen hedatzailea, bi punturen korrelazio-funtzioa, bi punturen Green funtzioa edo laburtzeko bi punturen funtzioa.^[1] Bi puntuko funtzio librea, Feynmanen hedatzaile ere esaten zaiona, eskalar eremu errealerako aurki daiteke kuantifikazio kanoniko edo ibilbidearen integralen bidez:^[1][33]

${\displaystyle {\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}}$ 

Teoria interaktibo batean, non lagrangiarrak edo hamiltoniarrak elkarrekintzak deskribatzen dituzten ${\displaystyle L_{I}(t)}$  edo ${\displaystyle H_{I}(t)}$  terminoak dituzten, bi punturen funtzioa definitzea zailagoa da. Hala ere, kuantifikazio kanonikoaren formulazioaren nahiz ibilbidearen formulazio integralaren bidez, bi puntu askeko funtzioaren perturbazio amaigabeen bidez adieraz daiteke.

Kuantifikazio kanonikoan, bi punturen korrelazio funtzioa honela idatz daiteke:^[1]

${\displaystyle {\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}}$ Non ε zenbaki infinitesimal bat den eta ${\displaystyle \phi _{I}}$  teoria askearen pean dagoen eremu operadorea den. Hemen, esponentziala bere berretura serieko hedapen gisa ulertu behar da. Adibidez, ${\displaystyle \phi ^{4}}$  teorian, hamiltoniarraren termino interaktiboa ${\displaystyle {\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}}$  da,^[1] eta ${\displaystyle \lambda }$ ri dagokionez, bi punturen korrelatzailearen hedapena

${\displaystyle {\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}}$ 

bihurtzen da.

Perturbazioaren hedapen horrek bi interakzio-punturen funtzioa adierazten du, teoria askean ebaluatzen diren ${\displaystyle {\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }}$  kopuruei dagokienez.

Ibilbidearen integrala formulatzean, bi punturen korrelazio-funtzioa idatz daiteke:^[1]

${\displaystyle {\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}}$ 

non ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  dentsitate lagrangiarra den. Aurreko paragrafoan bezala, esponentziala serie bat ${\displaystyle \lambda }$ -n bezala zabal daiteke, elkarrekintzako bi punturen funtzioa teoria askeko kopuruetara murriztuz.

Wick-en teoremak, gainera, ${\displaystyle n}$  punturen korrelazio-funtzio oro murrizten du teoria librean, bi puntuko korrelazio-funtzioen produktuen batura batera. Adibidez,

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}}$ 

Korrelazio-funtzio interaktiboak korrelazio-funtzio askeetan adieraz daitezkeenez, azken funtzio horiek bakarrik ebaluatu behar dira teoria interaktiboan (asaldatzailean) kantitate fisiko guztiak kalkulatzeko.^[1] Horrek Feynmanen hedatzailea eremuen teoria kuantikoko kopururik garrantzitsuenetako bat izatea eragiten du.

Teoria interaktiboko korrelazio-funtzioak asaldura batzuk bezala idatz daitezke. Serieko termino bakoitza Feynmanen hedatzaileen emaitza bat da teoria librean, eta Feynmanen diagrama baten bidez adieraz daiteke bisualki. Adibidez, ${\displaystyle \lambda ^{1}}$  terminoa ${\displaystyle \phi ^{4}}$  teorian bi punturen korrelazio funtzioan da:

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}}$  Wick-en teorema aplikatu ondoren, terminoetako bat da: ${\displaystyle {\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}}$  Termino hori Feynmanen diagramatik lor daiteke.

  Diagramak honako hauek ditu:

• Ertz batekin konektatutako eta puntuz irudikatutako kanpoko erpinak (hemen ${\displaystyle x}$  eta ${\displaystyle y}$  bezala etiketatuta).
• Lau ertzekin konektatutako eta puntuz irudikatutako barne-erpinak (hemen ${\displaystyle z}$  bezala etiketatuta).
• Erpinak konektatzen dituzten ertzak, lerroz irudikatuak.

Erpin bakoitza ${\displaystyle \phi }$  eremuko faktore bakar bati dagokio espaziotiempoko dagokion puntuan; ertzak, berriz, espaziotiempoko puntuen arteko hedatzaileei dagozkie. Diagramari dagokion perturbazio-seriearen terminoa Feynmanen arauetatik ondorioztatzen den adierazpena idatziz lortzen da:

1. ${\displaystyle z_{i}}$  barne-erpin bakoitzerako, idatzi ${\displaystyle {\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}}$  faktore bat.
2. ${\displaystyle z_{i}}$  eta ${\displaystyle z_{j}}$  erpin bi konektatzen dituen ertz bakoitzerako ${\displaystyle {\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}}$  faktore bat idazten du.
3. Diagramaren simetria-faktorearekin zatitu.