Elektrodinamika kuantiko

 

Erradiazioa eta materiaren arteko elkarrekintza deskribatzen duen teoria kuantiko baten lehen formulazioa Paul Dirac zientzialari britainiarrari egozten zaio, zeinak (1920ko hamarkadan) atomo baten berezko emisioaren koefizientea kalkulatu ahal izan zuen^[2].

Dirac-ek eremu elektromagnetikoaren kuantifikazioa oszilatzaile harmonikoen multzo gisa deskribatu zuen partikulen sortze eta deuseztatze eragileen kontzeptuaren sarrerarekin. Hurrengo urteetan, Wolfgang Pauli, Eugene Wigner, Pascual Jordan eta Werner Heisenbergen ekarpenekin eta Enrico Fermiren elektrodinamika kuantikoaren formulazio dotore batekin^[3], fisikariek uste izan zuten, printzipioz, edozein konputazio egin ahal izango zela fotoi eta partikula kargatuekin. Hala ere, Felix Blochek Arnold Nordsieckekin^[4] eta Victor Weisskopfekin^[5], 1937an eta 1939an, egindako ikerketa berriek agerian utzi zuten kalkulu horiek perturbazioaren teoriaren lehen ordenan baino ez zirela fidagarriak Robert Oppenheimerrek jada adierazitako problema batean^[6]. Serieko goi ordenan, infinituak agertu ziren konputazio horiek zentzurik gabe utziz eta teoriaren beraren barne-koherentziari buruzko zalantza handiak sortuz. Garai hartan ezagutzen zen arazo horretarako konponbiderik gabe, erlatibitate bereziaren eta mekanika kuantikoaren arteko funtsezko bateraezintasuna zegoela zirudien.

Elektrodinamika kuantikoa XX. mendean sortu zen teoria kuantiko zehatzenetako bat da, eta hogei zifra hamartarreraino arteko kopuru fisiko jakin batzuen iragarpenak egiteko gai da, emaitza arraroa zena lehenagoko teoria fisikoetan. Hori dela eta, teoriari fisikaren harribitxia deitu zioten. Bere iragarpen zehatzenen artean hauek daude:

• Elektroi eta muoien momentu magnetiko anomaloa, zeinarentzat Dirac-en ekuazioak balio klasikoaren balio bikoitza iragartzen zuen. Elektroiarentzat EDCk balio bat aurreikusten du:

${\displaystyle g_{e}=2(1+a)=2\left(1+{\frac {q_{e}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}hc}}\right)}$ 

Non:

${\displaystyle q_{e}\;}$  elektroiaren karga elektrikoa den.

${\displaystyle h\;}$  Planck-en konstantea den.

${\displaystyle c\;}$  hutsean, argiaren abiadura den.

${\displaystyle \epsilon _{0}\;}$  hutsaren permitibitate elektrikoa den.

• Lamb desplazamenduaren balioa hidrogeno atomoaren energia-mailetan.

Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger eta Richard Feynman-ek 1965eko Fisikako Nobel Sariak jaso zituzten beren garapenarengatik, beren ekarpenak preskripzio kobariantza eta neurgailu aldaezina kantitate behagarrien konputaziorako inplikatzen zutelarik. Feynmanen diagrametan oinarritutako teknika matematikoak, hasiera batean, Schwinger eta Tomonagako operadoreetan oinarritutako eremu teorikoaren ikuspegitik oso ezberdina zirudien, baina, geroago, bere baliokidetasuna ikusarazi zen. Eremu-teoria kuantikoaren iragarpen infinitu batzuei zentzua emateko birnormalizazio-prozedurak ere bere lehen inplementazio arrakastatsua aurkitu zuen elektrodinamika kuantikoan.

Elektrodinamika kuantikoa fotoien eta fermioniko motako partikula kargatuen arteko elkarrekintzaren deskribapen zehatza da. Teoria kuantikoak ezaugarri batzuk partekatzen ditu deskribapen klasikoarekin. Optika klasikoaren deskribapenaren arabera, argia baimendutako bide guztietan ibiltzen da, eta haien interferentziak Fermat-en printzipioaren arabera hedatzen diren uhin-fronteak zehazten ditu. Era berean, fotoien (eta fermioien) deskribapen kuantikoan, irekiguneek edo sistema optikoek ahalbidetzen duten bide guztietan zehar igarotzen dira. Bi kasuetan, behatzaileak lerro integraletan zehar kontuan hartutako uhin guztien gainjartzearen emaitza matematikoa besterik ez du detektatzen. Ezberdintasuna da elektrodinamikan fotoi baten abiadura eraginkorrak argiaren batez besteko abiadura gaindi dezakeela^[7].

Gainera, elektrodinamika kuantikoa izan zen eremuen deskribapen osoa eraikitzeko eta partikula kuantikoen sorrera eta deuseztapenaren zailtasunak ongi ebatzi ziren lehen eremu-teoria kuantikoa.

 

Matematikoki, elektrodinamika kuantikoak gauge-teoria abeliar baten egitura duela esan dezakegu, elkartutako gauge-taldea ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {U} (1)}$  talde unitarioan izanik. Spin eremuen-1/2 kargatuen arteko elkarrekintzan bitartekaritza duen gauge-eremua eremu elektromagnetikoa da.

Kargatutako partikula eta fotoi sistema baten eboluzio tenporala kalkulu perturbatibo baten bidez kalkula daiteke. Zehazki, maiz egin daitezkeen esperimentuekin alderatzeko, S matrizeko elementuak kalkulatzea eskatzen du, zeinak esperimentuen emaitzekin alderatu daitezkeen partikularen dispertsioaren ebakidurak aurkitzea ahalbidetzen duten.

Elektrodinamika kuantikoak kalkulu mota hori potentzia-serieko garapen perturbatibo batera murrizten du, sekzio eraginkor horiek nahi den zehaztasunarekin aurkitzea ahalbidetzen duena. Termino perturbatibo bakoitzak Feynmanen diagrama izenez ezagutzen den irudikapen grafiko bat onartzen du. Izan ere, historikoki, elektrodinamika kuantikoa izan zen lehen teoria, non Feynmanen diagramak kalkulu perturbatiboa laguntzeko erabili zen. Termino perturbatibo bakoitzaren forma eta, beraz, erlazionatutako irudikapen grafikoa teoria hori ezaugarritzen duen lagrangiarren formaren araberakoa da.

Interesgarria da ikustea nola aurki daitekeen EDCren lagrangiarra baldintza soila izanik karga elektriko ez nulua duen fermioi aske baten lagrangiarra tokiko gauge aldaezina izanda. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}}$  fermioi askearen lagrangiarra den:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}={\dot {\imath }}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi ={\bar {\psi }}({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi }$ 

Beste era batera esanda, ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$  tokiko transformazio baten behean ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{l}}$  aldaezina izan dadin nahi dugu; beraz, eremua honela aldatzen da:

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-{\dot {\imath }}\alpha (x)}\psi (x)}$ 

Kasu horretan, deribatu kobariantza eta neurgailua honako hauek izango dira:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\dot {\imath }}eA_{\mu }\qquad \therefore \qquad A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha }$ 

Horrekin guztiarekin, elektrodinamika kuantikoaren lagrangiarra honela geratzen da:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}\left({\dot {\imath }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$ 

Kontuan izan behar da elektrodinamika kuantikoak ez duela esperimentu zehatz batean gertatuko litzatekeenaren balio zehatzik ematen; egoera mota jakin bat gertatzeko probabilitateak soilik ematen ditu. Horregatik, teoriak aurreikusitako probabilitateen arabera, estatistikoki sakabanatuta dauden partikula kopuru handi samarra erabiltzen dute esperimentuek. Sakabanatuta dauden partikulen banaketatik, ebakidura neur daiteke teoriaren zenbakizko iragarpenekin alderatuta.

Elektrodinamika kuantikoaren iragarpenak ezohiko zehaztasun maila batera baieztatu dituzte esperimentuek: normalean, teoriaren iragarpenekin 12 zifra hamartar zuzenekin bat egiten duten esperimentuak izaten dira. Horrek gizakiak eraikitako teoriarik zehatzena bihurtzen du EDC kuantikoa.

Eremu-teoria baten oinarrizko dinamika eta propietateak lagrangiarretzat aukeratutako formaren araberakoak dira. Lagrangiarren hautaketa gauge-taldearen simetrien araberakoa da, eta teoriak fermioi kargatuen arteko elkarrekintza egoki deskribatzen duenaren araberakoa da. Eremu fermionikoak gauge-talde kommutatiboa den masarik gabeko partikulei (fotoiei) lotutako eremu bosoiko baten bidez elkarreraginean deskribatzen duen teorian, hasierako lagrangiarra honela har daiteke:

(1) ${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,}$ 

non eremu ferminikoa${\displaystyle \ \psi }$  eta bere ordezko de Dirac ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$  elektrikoki kargatutako partikulak adierazten dituzten eremuak diren, zehazki, Dirac-en spinor gisa irudikatzen diren elektroi eta positroi eremuak. Eremu elektromagnetikoko tentsorea duen lagrangiar zatiak eremu elektromagnetikoaren bilakaera askea deskribatzen du; bien bitartean, gauge-ren deribatu kobariantzarekin, Dirac ekuazioak elektroi eta positroi eremuen bilakaera askea eta eremuarekin duten elkarrekintza deskribatzen du.

Higidura edo Mugimenduaren ekuazioak elektrodinamika kuantikoaren edo denboraren bilakaeraren ekuazioak lor daitezke Euler-Lagrange ekuazioaren teoriaren lagrangiarretik. Lagrangiar hori Euler-Lagrange ekuazioetan txertatuz, teoriaren denbora-eboluzioaren ekuazioa lortzen da:

(2) ${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}\end{cases}}}$ 

Bi terminoak Euler-Lagrange ekuazioaren barruan kokatuz gero, azkenik, eremu fermionikoaren bilakaera-ekuazio hau lortzen da:

Ezkerreko kidea Dirac-en ekuazioa da, eta eskuineko terminoak eremu elektromagnetikoarekiko elkarrekintza adierazten du.

Euler-Lagrange ekuazio berak, orain ${\displaystyle A^{\mu }}$  eremuari aplikatuta, eremu elektromagnetikoaren bilakaera-ekuazioak aurkitzea ahalbidetzen du:

(3) ${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\quad {\mbox{con}}{\begin{cases}\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \end{cases}}}$ 

Eta, azkenik, eremu elektromagnetikoaren bilakaeraren ekuazioa hau da:

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,}$

non bigarren kidea eremu fermionikoari lotutako korronte-dentsitate bezala interpreta daitekeen.

Efektu kuantiko guztiak kontuan hartzeko, beharrezkoa da aurreko ekuazio diferentzialetako eremu-osagaiak ordeztea benetako operadore kuantiko gisa interpreta daitezkeen operadore autoadjuntuez. Oro har, horrek zehatz-mehatz integratzen ez dakigun baina tratamendu perturbatiboa onartzen duten ekuazio-sistemak ekartzen ditu denbora-eboluzio-operadorea deskonposatuz ${\displaystyle {\hat {U}}_{QED}=\exp(it{\hat {H}}_{QED})}$  potentzia-seriean edo serie perturbatiboan.

Aurreko serieko termino bakoitzaren kalkulua ia automatikoki egin daiteke Feynmanen diagrama deritzonen laguntzaz, zeinari Feynmanen arau batzuk lotu ahal zaizkien. Kalkuluaren zehaztasuna aurreko serie perturbatiboetan zenbat termino kontuan hartzen diren araberakoa da.

Feynmanen arauen arazo larri bat da, lehen aldian adierazi zuten bezala, serie perturbatiboko diagrama eta termino dibergenteetara daramatzatela, hau da, termino ez finituen kalkulua termino finituen kalkulua alferrik galarazten dutela. Jakina, emaitza fisiko guztiak finituak dira, eta kalkuluaren termino dibergente horiek, errealitatean, ez dira behagarriak. Birnormalizazioa, kalkulatutako terminoen eta termino neurgarrien artean errealitatean zer erlazio dagoen interpretatzen duten arau gehigarrien multzoa da, eta kalkuluak normalizatzea ahalbidetzen duten arau osagarriak sortzen dituzte, eta errealitatearekin alderagarriak diren zenbakizko emaitza finituak esperimentu bidez sortzen direla ziurtatzen dute.

Jakina da teoria kuantikoa gauge-eremuaren teoria izateak normalizagarria izateko propietatea ematen diola, hau da, arau gehigarri bat dagoela behatu ezin diren termino dibergenteak ezabatzea ahalbidetzen duena eta emaitza finituak sorrarazten dituena.

• De Broglie, Louis (1925). Recherches sur la theorie des quanta [Research on quantum theory]. France: Wiley-Interscience. 
• Feynman, Richard Phillips (1998). Quantum Electrodynamics (New edición). Westview Press. ISBN 978-0-201-36075-2. 
• Jauch, J.M.; Rohrlich, F. (1980). The Theory of Photons and Electrons. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07295-1. (requiere registro). 
• Greiner, Walter; Bromley, D.A.; Müller, Berndt (2000). Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 978-3-540-67672-0. 
• Kane, Gordon, L. (1993). Modern Elementary Particle Physics. Westview Press. ISBN 978-0-201-62460-1. 
• Miller, Arthur I. (1995). Early Quantum Electrodynamics: A Sourcebook. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56891-3. 
• Milonni, Peter W. (1994). The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics. Boston: Academic Press. ISBN 0124980805. LCCN 93029780. OCLC 422797902. 
• Schweber, Silvan S. (1994). QED and the Men Who Made It. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03327-3. (requiere registro). 
• Schwinger, Julian (1958). Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60444-2. 
• Tannoudji-Cohen, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1. 

• Dudley, J.M.; Kwan, A.M.. (1996). «Richard Feynman's popular lectures on quantum electrodynamics: The 1979 Robb Lectures at Auckland University» American Journal of Physics 64 (6): 694–98.  doi:10.1119/1.18234. Bibcode: 1996AmJPh..64..694D..