Aztarna (aljebra)

Aljebra linealean, matrize karratu baten aztarna bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Hau da,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$

non a_ij i-garren errenkadan eta j-garren zutabean dagoen elementua den.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(A)=3+4+2=9.\,\!}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&-7\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(B)=3+4+(-7)=0.\,\!}$

• Aztarna eragile lineal bat da:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A+B\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)+\operatorname {tr} \left(B\right)}$

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(rA\right)=r\left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)}$

${\displaystyle A\,}$ eta ${\displaystyle B\,}$ matrize karratuak izanik, eta ${\displaystyle r\,}$ eskalar bat.

• Matrizea iraultzeak ez duenez eraginik sortzen diagonal nagusian,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{T}\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)}$

• ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle n\times m}$ dimentsioko matrize bat bada eta ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle m\times n}$ dimentsiokoa, orduan

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\operatorname {tr} \left(BA\right)}$

Frogatzeko, aintzat hartu behar dugu ${\displaystyle A\,}$ eta ${\displaystyle B\,}$ matrizeen biderkadura honelakoa dela

${\displaystyle [AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}}$

hortaz, ${\displaystyle AB\,}$-ren aztarna honela adieraz dezakegu

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}}$

eta batuketaren elkartze-propietatea kontuan hartuz gero

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[AB]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)}$

Azpimarratu behar dugu ${\displaystyle AB\,}$ ${\displaystyle n\times n}$ dimentsioko matrize karratu bat dela, eta ${\displaystyle BA\,}$, aldiz, ${\displaystyle m\times m}$ dimentsioko matrize bat.