Kardinaalarv

Ordinaalarvu ${\displaystyle \alpha \,\!}$  nimetatakse kardinaalarvuks, kui igal väiksemal ordinaalarvul ${\displaystyle \beta <\alpha \,\!}$  on ka väiksem võimsus (st ordinaalarvu ${\displaystyle \alpha \,\!}$  ei saa üksüheselt kujutada ühelegi oma alamhulgale ${\displaystyle \beta \,\!}$ ). Selle definitsiooni võib esitada kujul ${\displaystyle \alpha \in Cn\Leftrightarrow (\forall \beta )(\beta <\alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha ))}$ , kus ${\displaystyle Cn\,\!}$  on kõigi kardinaalarvude klass.

Kardinaalarve tähistatakse tavaliselt kreeka tähestiku keskmiste tähtedega ${\displaystyle \kappa ,\lambda ,\mu \,\!}$ , et eristada neid ordinaalarvudest, mida tähistatakse tähtedega kreeka tähestiku algusest: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \,\!}$ .

Kaht hulka X ja Y nimetatakse võrdvõimsateks, kui on olemas bijektsioon hulgast X hulka Y; siis kirjutatakse |X| = |Y|. Hulkade võrdvõimsus on ekvivalentsusseos kõigi hulkade klassil.

1. definitsioon. Kardinaalarvud pärisklassidena.

Hulga X ekvivalentsusklassi võrdvõimsuse seose suhtes nimetatakse kardinaalarvuks |X|.

Selle definitsiooniga on see raskus, et kardinaalarvud ei ole defineeritud hulkadena, vaid pärisklassidena (välja arvatud ${\displaystyle |\emptyset |}$ ).

Sellest raskusest saab mööda minna, kui panna |X| tähistama mitte kogu ekvivalentsusklassi, vaid valitakse sellest üks element välja, valitakse välja nii-öelda esindajate süsteem. Et seda formaalselt korrektselt teha, kasutatakse ordinaalarvude teooriat (selle lähenemise korral peab ordinaalarv olema juba defineeritud):

2. definitsioon: kardinaalarvud eriliste ordinaalarvudena

Iga hulk A on võrdvõimas mõne täielikult järjestatud hulgaga B (eeldatakse valiku aksioomiga ekvivalentset Zermelo teoreemi). Hulga B juurde kuulub mingi ordinaalarv. Hulga B saab valida nii, et see ordinaalarv ("algusarv") oleks vähim võimalik, sest ordinaalarvud ise on täielikult järjestatud. Kardinaalarvu |A| saab samastada selle vähima ordinaalarvuga.

See hulgateoreetiline võte võimaldab hulga võimsust (ja kardinaalarvu) defineerida nii, et see oleks hulk. Siit järeldub kohe võrreldavuslause: kardinaalarvud on täielikult järjestatud (sest ordinaalarvude klassi alamklassina on nad ise täielikult järjestatud). Seda ei saa tõestada ilma valiku aksioomita.

Kardinaalarve kirjeldas Georg Cantor, kes 1874–1884 püüdis luua hulgateooriat, mida praegu nimetatakse naiivseks hulgateooriaks.

Kõigepealt võttis ta kasutusele võimsuse mõiste kui lõplike hulkade võrdsustamise vahendi. Näiteks hulgad {1,2,3} ja {2,3,4} ei ole küll võrdsed, kuid nad on võrdvõimsad.

Edasi võttis Cantor kasutusele üksühese vastavuse, mille abil on lihtne näidata, kas kaks lõplikku hulka on võrdvõimsad. Üksühese vastavuse mõiste abil rakendas ta oma ideed ka lõpmatutele hulkadele, näiteks naturaalarvude hulgale. Ta võttis kasutusele ka loenduva hulga mõiste iga hulga kohta, mis on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. Loenduva hulga võimsusele andis ta nimeks ${\displaystyle \aleph _{0}}$  (alef-null).

Cantorit huvitas, kas iga lõpmatu hulk on loenduv. Diagonaalmeetodi abil tõestas ta, et nii see ei ole, ning kirjeldas uut võimsust (kardinaalarvu), kontiinumi võimsust, mida tänapäeval tavaliselt tähistatakse tähega c. Ta näitas, et eksisteerib vähim lõpmatu kardinaalarv (${\displaystyle \aleph _{0}}$ ) ning et iga kardinaalarvu korral eksisteerib temast suurem kardinaalarv (${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\cdots }$ ).

Hiljem sõnastas ta väite, mis on tuntud kontiinumi hüpoteesi nime all, nimelt, et c = ${\displaystyle \aleph _{1}}$ . Osutus, et selle kehtivus ei sõltu hulgateooria standardsetest aksioomidest ning seetõttu ei saa seda nende põhjal tõestada ega ümber lükata.

• Alef-null
• Kontiinumi võimsus
• Suur kardinaalarv

• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. Bd. 999/999a). 7. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-11-003911-7.