Injektiivne funktsioon

Olgu ${\displaystyle X}$  ja ${\displaystyle Y}$  hulgad ning ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$  funktsioon hulgast ${\displaystyle X}$  hulka ${\displaystyle Y}$ .
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$  nimetatakse injektiivseks, kui iga ${\displaystyle y}$ -i korral hulgast ${\displaystyle Y}$  eksisteerib ülimalt üks ${\displaystyle x}$  hulgast ${\displaystyle X}$ , nii et ${\displaystyle f(x)=y}$ . ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall y\in Y\ (\exists !x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).}$ 

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$  nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja ${\displaystyle y}$  väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi ${\displaystyle x}$  väärtuste võrdus.
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})}$ 

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$  nimetatakse injektiivseks, kui argumendi ${\displaystyle x}$  erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))}$ 
  

Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

 

• Iga funktsioon ${\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}\to \{\bullet \}}$  kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
• Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
• Olgu ${\displaystyle \mathbb {N} }$  naturaalarvude hulk ja ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  täisarvude hulk.

Funktsioon ${\displaystyle f_{1}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x}$  on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{2}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x}$  on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{3}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}}$  on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}}$  ei ole injektiivne, sest näiteks ${\displaystyle f(1)=f(-1)}$ .

Funktsiooni ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$  injektiivsus sõltub ainult graafikust ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}$  (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast ${\displaystyle B}$ , mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$  on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade ${\displaystyle X,Y\subseteq A}$  korral ${\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)\!\,}$ .

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$  on injektiivne parajasti siis, kui kõikide ${\displaystyle T\subset A}$  korral ${\displaystyle f^{-1}{\big (}f(T){\big )}=T}$ .

Kui funktsioonid ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$  ja ${\displaystyle g\colon \,B\to C}$  on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon ${\displaystyle g\circ f\colon \,A\to C}$  on injektiivne.

Kui ${\displaystyle g\circ f}$  on injektiivne, siis ${\displaystyle f}$  on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$ , mille lähtehulk ${\displaystyle A}$  on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil ${\displaystyle f}$  on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon ${\displaystyle g\colon \,B\to A}$  mille korral ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}$ , kus ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}}$  on samasuskujutus hulgal ${\displaystyle A}$ . Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.