Volante de inercia

 

A modo de breve introducción, veamos qué aspecto presenta la fórmula de la energía almacenada en un rotor como energía cinética, o, más concretamente, como energía rotacional:

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\ I\ \omega ^{2}}$ 

Símbolo	Nombre
${\displaystyle E_{k}}$	Energía cinética
${\displaystyle I}$	Momento de inercia de la masa sobre el eje de rotación
${\displaystyle w}$	Velocidad angular

Veamos ahora unos pocos ejemplos de momentos de inercia que nos pueden ser de utilidad a la hora de realizar sencillos cálculos para sistemas simplificados:

Símbolo	Nombre
${\displaystyle L}$	Longitud
${\displaystyle m}$	Masa
${\displaystyle r}$	Radio

Momento de inercia	Para
${\displaystyle I_{z}={\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\Bigr )}m\ r^{2}}$	Cilindro sólido
${\displaystyle I=m\ r^{2}}$	Cilindro de pared delgada
${\displaystyle I={\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\Bigr )}m\ [(r_{1})^{2}+(r_{2})^{2}]}$	Cilindro de pared no-delgada
${\displaystyle I={\Bigl (}{\frac {1}{4}}{\Bigr )}m\ r^{2}+{\Bigl (}{\frac {1}{12}}{\Bigr )}m\ L^{2}}$	Cilindro con eje de rotación perpendicular a la generatriz pasando por el centro de la longitud

Estudiemos ahora el comportamiento físico de un volante de inercia desde un punto de vista simplificado:

 

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \theta }$	Coordenada de posición del volante
${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}}$	Velocidad angular de entrada correspondiente a una coordenada ${\displaystyle \theta _{i}}$
${\displaystyle {\dot {\theta }}_{0}}$	Velocidad angular de salida correspondiente a una coordenada ${\displaystyle \theta _{0}}$
${\displaystyle I}$	Momento de inercia del volante
${\displaystyle T_{i}}$	Momento de torsión de entrada correspondiente a una coordenada ${\displaystyle \theta _{i}}$
${\displaystyle T_{0}}$	Momento de torsión de salida correspondiente a una coordenada ${\displaystyle \theta _{0}}$

Tomando arbitrariamente ${\displaystyle T_{i}}$  como positivo y ${\displaystyle T_{0}}$  como negativo, obtendremos la siguiente ecuación para el movimiento del volante:

${\displaystyle M=T_{i}\left(\theta _{i},{\dot {\theta }}_{i}\right)-T_{0}\left(\theta _{0},{\dot {\theta }}_{0}\right)-I{\ddot {\theta }}=0}$ 

o lo que es lo mismo,

${\displaystyle I\cdot \alpha =T_{i}\left(\theta _{i},\omega _{i}\right)-T_{0}\left(\theta _{0},\omega _{0}\right)}$ 

Es decir, una ecuación diferencial de segundo orden que podemos resolver aplicando las técnicas apropiadas (tanto para ecuaciones diferenciales lineales como no lineales) una vez conocidas las funciones de variación de los momentos de torsión de entrada y salida. En general, ${\displaystyle T_{i}}$  y ${\displaystyle T_{0}}$  pueden depender tanto de los valores de ${\displaystyle \theta _{i}}$  y ${\displaystyle \theta _{0}}$  como de los valores de ${\displaystyle \omega _{i}}$  y ${\displaystyle \omega _{0}}$ . No obstante, normalmente el momento de torsión depende únicamente de uno de los dos parámetros, siendo frecuentemente ${\displaystyle \omega }$  el decisivo. De hecho, los fabricantes de motores eléctricos, por ejemplo, hacen públicas para cada uno de sus diferentes modelos de motor, una serie de gráficas en las cuales se recogen las características del par motor y de la velocidad.

En un análisis menos exhaustivo del sistema formado por el volante, podríamos suponer que el eje es rígido a torsión y en consecuencia tomar:

${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{0}=\theta }$ 

por consiguiente la ecuación anterior quedaría simplificada del siguiente modo:

${\displaystyle I\cdot \alpha =T_{i}\left(\theta ,\omega \right)-T_{0}\left(\theta ,\omega \right)}$ 

No obstante, en la práctica no resulta de gran interés conocer los valores instantáneos de las variables cinemáticas, sino que la atención se centra fundamentalmente en conocer el comportamiento global del volante de inercia. Es decir, ¿cuál sería un momento de inercia apropiado? ¿cuáles son las características del funcionamiento resultante del sistema?

Trataremos ahora de abordar dichas cuestiones de una situación hipotética que nos ayude a profundizar en el tema, para ello centremos primeramente nuestra atención en el siguiente diagrama:

Vamos a describir paso por paso la interpretación que se debe realizar del diagrama anterior:

• A la entrada, una fuente de potencia somete al volante a un momento de torsión (en este caso constante) ${\displaystyle T_{i}}$  mientras el eje gira de ${\displaystyle \theta _{1}}$  a ${\displaystyle \theta _{2}}$ .
• Al haber tomado arbitrariamente ${\displaystyle T_{i}}$  como un momento torsor positivo lo representamos ascendentemente en el eje de ordenadas del diagrama.
• De la ecuación estudiada arriba para el movimiento del volante deducimos que ${\displaystyle \alpha }$  será una aceleración positiva y consecuentemente la velocidad del eje aumentara de ${\displaystyle \omega _{1}}$  a ${\displaystyle \omega _{2}}$ .
• A continuación, el eje se desplazará de ${\displaystyle \theta _{2}}$  a ${\displaystyle \theta _{3}}$  con T=0 de modo que nuevamente en concordancia con la ecuación vista ${\displaystyle \alpha }$  será nula. Por tanto ${\displaystyle \omega _{2}=\omega _{3}}$ .
• Por último de ${\displaystyle \theta _{3}}$  hasta ${\displaystyle \theta _{4}}$ , se aplica un momento de torsión de salida (también constante en este caso) que hará que se pierda velocidad en el eje pasándose de ${\displaystyle \omega _{3}}$  a ${\displaystyle \omega _{4}}$ . Al haber tomado arbitrariamente ${\displaystyle T_{0}}$  como un momento torsor negativo lo representamos descendentemente en el eje de ordenadas del diagrama.

Para el caso hipotético estudiado, la energía transmitida al volante (trabajo entrante) es cuantitativamente equivalente al área del rectángulo delimitado por ${\displaystyle \theta _{1}}$  y ${\displaystyle \theta _{2}}$  es decir:

${\displaystyle U_{i}=T_{i}\left(\theta _{2}-\theta _{1}\right)}$ 

La energía extraída del volante (trabajo saliente) es cuantitativamente equivalente al área del rectángulo delimitado por ${\displaystyle \theta _{3}}$  y ${\displaystyle \theta _{4}}$ , o sea:

${\displaystyle U_{0}=T_{0}\left(\theta _{4}-\theta _{3}\right)}$ 

Si suponemos el sistema estudiado como uno de propiedades ideales en el cual no exista fricción, léase que no se producen pérdidas asociadas a dicho fenómeno, podemos entonces detallar las tres situaciones posibles que pueden darse:

	por tanto	Observación
${\displaystyle U_{0}>U_{i}}$	${\displaystyle \omega _{4}<\omega _{1}}$
${\displaystyle U_{0}=U_{i}}$	${\displaystyle \omega _{4}=\omega _{1}}$	Caso de ciclos periódicos
${\displaystyle U_{0}<U_{i}}$	${\displaystyle \omega _{4}>\omega _{1}}$

Si estudiamos el caso hipotético bajo el prisma de las energías cinéticas planteando un balance para las mismas, obtenemos un análisis igualmente válido en el cual podemos apreciar:

Para	Velocidad	Energía cinética
${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$	${\displaystyle \omega =\omega _{1}}$	${\displaystyle U_{1}={\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\Bigr )}\ I\ (\omega _{1})^{2}}$
${\displaystyle \theta =\theta _{2}}$	${\displaystyle \omega =\omega _{2}}$	${\displaystyle U_{2}={\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\Bigr )}\ I\ (\omega _{2})^{2}}$
		${\displaystyle U_{2}-U_{1}={\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\Bigr )}\ I\ [(\omega _{2})^{2}-(\omega _{1})^{2}]}$

Es necesario ahora que se ha explicado este ejemplo sencillo poner de manifiesto que la mayoría de las funciones de "momento de torsión (par motor) - desplazamiento" que nos encontramos en la vida real y por tanto en las aplicaciones ingenieriles, son de una dificultad extrema y por tanto deben ser integradas por métodos numéricos aproximados. Un ejemplo de ello podría ser la siguiente gráfica:

Obsérvese que fruto de la integral aproximada de dicha curva para un ciclo completo obtenemos como resultado un momento de torsión medio ${\displaystyle T_{m}}$  disponible para impulsar una carga. Existen diversos algoritmos de integración que podemos utilizar para calcular dichas aproximaciones, entre las más típicas se encuentra la regla de Simpson que destaca por su sencillez (implementada en muchas calculadoras programables) y la regla trapezoidal.

Para el cálculo de volantes de inercia se suelen utilizar dos parámetros auxiliares de gran relevancia, la velocidad angular nominal ${\displaystyle \omega }$  y el coeficiente de fluctuación de la velocidad ${\displaystyle C_{s}}$  que se definen:

${\displaystyle \omega ={\frac {\omega _{2}+\omega _{1}}{2}}}$ 

${\displaystyle C_{s}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{\omega }}}$ 

Al definir este último parámetro dividimos entre ${\displaystyle \omega }$  para obtener una relación adimensional que depende más de las propiedades del sistema que de la velocidad misma.

Con estos nuevos parámetros podríamos reescribir el balance que realizamos para la energía cinética dado que

${\displaystyle C_{s}\cdot \omega =\omega _{2}-\omega _{1}}$ 

y

${\displaystyle 2\cdot \omega =\omega _{2}+\omega _{1}}$ 

se tiene que resulta:

${\displaystyle U_{2}-U_{1}=C_{s}\cdot I\cdot \omega ^{2}}$ 

Ecuación que se usa generalmente para determinar cual debe ser la inercia apropiada para el volante. Esto se debe a que tanto la energía que nos hará falta como las revoluciones a las cuales girará el rotor son datos conocidos y por tanto lo que debemos determinar es el compromiso entre el coeficiente de fluctuación de velocidad y la inercia de modo que no se sufran grandes fluctuacoones ni por el contrario sea muy costoso llegar al régimen de trabajo (lo que impondría una gran inercia). En la práctica se impone un valor límite a ${\displaystyle C_{s}}$  y de ahí se deduce I.

 

La cantidad de energía que puede ser almacenada de manera segura en el rotor dependerá del punto en el cual el rotor comienza a combarse o resquebrajarse. La tensión circunferencial en el rotor es un aspecto fundamental en el diseño de sistemas de almacenaje de energía mediante volantes de inercia.

${\displaystyle \sigma _{t}=\rho \ r^{2}\ \omega ^{2}}$ 

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \omega }$	Velocidad angular del cilindro
${\displaystyle \rho }$	Densidad del cilindro
${\displaystyle \sigma _{t}}$	Esfuerzo o solicitación a tracción en la corona del cilindro
${\displaystyle r}$	Radio del cilindro

Para un diseño de volante de inercia dado, se puede deducir de las ecuaciones expuestas arriba que la energía cinética es proporcional al cociente entre la tensión circunferencial y la densidad del material:

${\displaystyle E_{k}\varpropto {\frac {\sigma _{t}}{\rho }}}$ 

Este parámetro puede ser llamado resistencia específica a la tracción o tenacidad específica. Aquel material que posea la mayor tenacidad específica dará lugar al volante de inercia capaz de acumular mayor energía. Esta es una de las numerosas razones por las cuales la fibra de carbono es un material de tanto interés en la actualidad.

Estos elementos mecánicos son necesarios pues en la mayor parte de las máquinas motrices, el trabajo producido por la expansión del vapor, por la explosión o por la combustión de las mezclas de hidrocarburos, es transmitido por un mecanismo biela-manivela a un árbol animado de movimiento continuo (piénsese por ejemplo en una locomotora de vapor o el motor de un automóvil). Las diferentes fases de los ciclos motores no tienen la misma importancia en cuanto a la producción de energía; además el mecanismo biela-manivela no garantiza un par constante.

Por lo general el volante consiste en una rueda o un disco, de fundición o de acero, calado en el árbol motor, y cuyas dimensiones están calculadas de acuerdo con las características generales del sistema del que forma parte.

En los motores de avión, la misma hélice hace las veces de volante de inercia.

• Plato de tocadiscos por motor de corriente continua en tracción directa.
• Algunos tipos de sistemas de alimentación ininterrumpida utilizan el volante de inercia para almacenar energía.
• Juguetes: por su simplicidad del mecanismo, suele ser utilizado como parte del motor de los coches de juguete.
• Prensa mecánica.

• Freno regenerativo
• Batería inercial
• Girobús
• Giróscopo
• Vehículo híbrido
• Condensador
• Inductor
• Volante bimasa

• Shigley y Uicker. Teoría de máquinas y mecanismos. McGraw-Hill.
• Ramón Moliner, Martell y Rodríguez Torres. Elementos de máquinas. UNED.
• Wilson y Sadler. Kinematics and dynamics of machinery. Harper Collins College Publishers.

• Volante remarcado: Video mostrando la construcción y funcionamiento de un motor de cuatro cilindros de combustión interna (cortesía de Ford Motor Company)
• Elementos de máquinas y vibraciones (UPNA)
• Magnetal AB - Giroscópico efecto y el volante - un estudio
• Magnetal AB - Green Energy Storage System - GESS - Un volante de almacenamiento de energía (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Tecnología de estabilización y almacenamiento para micro-red eléctrica basada en volante de inercia, ABB.