Relación de transmisión

 

Dado un engranaje formado por dos ruedas dentadas, llamaremos ${\displaystyle E_{1}\;}$  al primer engranaje y ${\displaystyle E_{2}\;}$  al segundo y en el caso de existir ${\displaystyle E_{3},\;E_{4}\;\dots \;E_{n}}$  a las demás ruedas dentadas, refiriéndonos a las características de la misma rueda con el mismo subíndice, así los diámetros se denominaran: ${\displaystyle d_{1},\;d_{2},\;d_{3}\;\dots \;d_{n}}$ .

En una rueda dentada ${\displaystyle E_{i}\;}$  podemos diferenciar las siguientes características:

${\displaystyle r_{i}\;\to \quad -}$  Radio de la circunferencia primitiva.

${\displaystyle d_{i}\;\to \quad -}$  Diámetro de la circunferencia primitiva.

${\displaystyle Z_{i}\;\to \quad -}$  Número de dientes.

${\displaystyle n_{i}\;\to \quad -}$  Número de revoluciones dadas por la rueda.

${\displaystyle e_{i}\;\to \quad -}$  Espacio recorrido por un punto de la circunferencia primitiva.

${\displaystyle \omega _{i}\;\to \quad -}$  Velocidad angular de la rueda.

${\displaystyle \tau _{i}\;\to \quad -}$  Par motor aplicado al eje de la rueda.

Por el cálculo de engranajes sabemos que en una rueda dentada se cumple:

${\displaystyle {\frac {d}{Z}}={\frac {p}{\pi }}=m\,}$ 

donde:

${\displaystyle d\;\to \quad -}$  es el diámetro de la circunferencia primitiva.

${\displaystyle Z\;\to \quad -}$  es el número de dientes.

${\displaystyle p\;\to \quad -}$  es el paso entre dos dientes sucesivos.

${\displaystyle \pi \;\to \quad -}$  es el Número π.

${\displaystyle m\;\to \quad -}$  es el módulo.

Para que dos ruedas dentadas engranen, el paso p y el módulo m, tienen que ser los mismos, y no intervienen en el cálculo de la transmisión, sino en el dimensionado del diente del engranaje, por lo que tenemos:

${\displaystyle d_{i}=mZ_{i}\;}$ 

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle {\cfrac {dc_{1}}{Zp_{1}}}={\cfrac {dc_{2}}{Zp_{2}}}=m\quad {\color {Blue}[1]}}$ 

donde m es constante, esta expresión determina la relación entre el diámetro y el número de dientes de un engranaje.

Ejemplo:

Si en un engranaje de dos ruedas la primera tiene 21 dientes y un diámetro de 350 mm y la segunda rueda tiene 15 dientes. ¿Cuál es su diámetro?

Partiendo de:

${\displaystyle {\cfrac {d_{2}}{d_{1}}}={\cfrac {Z_{2}}{Z_{1}}}}$ 

tenemos:

${\displaystyle d_{2}={\cfrac {Z_{2}\;\cdot \;d_{1}}{Z_{1}}}}$ 

para los valores dados:

${\displaystyle d_{2}={\cfrac {15\;\cdot \;350{\text{ mm}}}{21}}=250{\text{ mm}}}$ 

El espacio recorrido por un punto de la circunferencia primitiva cuando la rueda gira n vueltas será la longitud de su circunferencia primitiva por el número de revoluciones:

${\displaystyle e_{i}=\pi d_{i}n_{i}}$ 

Dos ruedas que giran sin deslizar recorrerán el mismo espacio:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}e_{1}=\pi d_{1}n_{1}\\e_{2}=\pi d_{2}n_{2}\\e_{1}=e_{2}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad d_{1}n_{1}=d_{2}n_{2}\quad {\color {Blue}[2]}}$ 

Así para dos ruedas que engranan, el producto del diámetro de una de ellas por el número de vueltas que da es igual al diámetro de la segunda rueda por su número de revoluciones.

Ejemplo.

Dadas dos ruedas dentadas que engranan una de 450 mm de diámetro de circunferencia primitiva y la otra de 400 mm, si la primera gira 24 revoluciones.

Partiendo de:

${\displaystyle d_{1}n_{1}=d_{2}n_{2}}$ 

tendremos que:

${\displaystyle n_{2}={\cfrac {d_{1}\;\cdot \;n_{1}}{d_{2}}}}$ 

Para los valores dados en el problema: tendremos que:

${\displaystyle n_{2}={\cfrac {450{\text{ mm}}\;\cdot \;24}{400{\text{ mm}}}}=27}$ 

Para relacionar el número de dientes y el número de revoluciones, partimos de la ecuación [1]

${\displaystyle {\color {Blue}[1]}\quad {\cfrac {d_{1}}{Z_{1}}}={\cfrac {d_{2}}{Z_{2}}}}$ 

y deducimos:

${\displaystyle {\cfrac {d_{1}}{d_{2}}}={\cfrac {Z_{1}}{Z_{2}}}}$ 

y de la ecuación [2]

${\displaystyle {\color {Blue}[2]}\quad d_{1}\;n_{1}=d_{2}\;n_{2}}$ 

de donde deducimos:

${\displaystyle {\cfrac {z_{1}}{z_{2}}}={\cfrac {n_{2}}{n_{1}}}}$ 

que se puede sintetizar en:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\cfrac {d_{1}}{d_{2}}}={\cfrac {Z_{1}}{Z_{2}}}\\{\cfrac {d_{1}}{d_{2}}}={\cfrac {n_{2}}{n_{1}}}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad Z_{1}\;n_{1}=Z_{2}\;n_{2}\quad {\color {Blue}[3]}}$ 

Ejemplo:

Si tenemos en engranaje con dos ruedas dentadas, la primera de 12 dientes y la segunda de 48 dientes. Cuando la primera gira una vuelta. ¿Cuánto gira la segunda?

Partiendo de:

${\displaystyle Z_{1}\;n_{1}=Z_{2}\;n_{2}}$ 

despejamos:

${\displaystyle n_{2}={\cfrac {Z_{1}\;n_{1}}{Z_{2}}}}$ 

para los valores dados, tenemos:

${\displaystyle n_{2}={\cfrac {12\cdot 1}{48}}={\cfrac {1}{4}}}$ 

Cuando la rueda de 12 dientes gira una vuelta, la de 48 dientes gira un cuarto de vuelta.

Sabiendo que las dos ruedas giran sin deslizar, la velocidad tangencial de las dos ruedas será la misma, por lo tanto:

${\displaystyle V_{i}=r_{i}\;\omega _{i}={\cfrac {d_{i}}{2}}\;\omega _{i}}$ 

aplicando este criterio a las dos ruedas, tendremos:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}V_{1}={\cfrac {d_{1}}{2}}\;\omega _{1}\\V_{2}={\cfrac {d_{2}}{2}}\;\omega _{2}\\V_{1}=V_{2}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad d_{1}\;\omega _{1}=d_{2}\;\omega _{2}\quad {\color {Blue}[4]}}$ 

El diámetro de una rueda por su velocidad angular es igual al diámetro de la otra rueda por su velocidad angular.

También es cierto que el radio de la rueda por su velocidad angular permanece constante y su valor es la velocidad tangencial:

${\displaystyle V_{t}=r_{1}\;\omega _{1}=r_{2}\;\omega _{2}}$ 

Ejemplo:

Una ruedas de 240mm de diámetro de circunferencia primitiva, gira a 30 revoluciones por minuto y engrana con una segunda rueda de 180mm de diámetro de circunferencia primitiva. ¿a que velocidad gira esta segunda rueda?

Partimos de la expresión:

${\displaystyle d_{1}\;\omega _{1}=d_{2}\;\omega _{2}}$ 

de donde despejamos la velocidad angular de la segunda rueda:

${\displaystyle \omega _{2}={\cfrac {d_{1}\;\omega _{1}}{d_{2}}}}$ 

Sustituyendo los valores del problema tenemos:

${\displaystyle \omega _{2}={\cfrac {240{\text{ mm}}\cdot 30{\text{ rpm}}}{180{\text{ mm}}}}=40{\text{ rpm}}}$ 

la segunda rueda gira a 40 revoluciones por minuto.

Para calcular la relación entre el número de dientes y la velocidad de rotación, partiremos de las expresiones [1] y [4], con lo que tenemos:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\color {Blue}[1]}\quad {\cfrac {d_{1}}{Z_{1}}}={\cfrac {d_{2}}{Z_{2}}}\\\\{\color {Blue}[4]}\quad d_{1}\;\omega _{1}=d_{2}\;\omega _{2}\\\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad Z_{1}\;\omega _{1}=Z_{2}\;\omega _{2}\quad {\color {Blue}[5]}}$ 

Con lo que se deduce que el producto del número de dientes de una rueda por su velocidad angular es igual al número de dientes de la rueda con la que engrana por su velocidad angular.

Ejemplo:

Una rueda dentada de 18 dientes gira a 25 rpm y engrana con una segunda rueda dentada de 30 dientes. ¿a que velocidad gira la segunda rueda?

Partimos de la relación:

${\displaystyle Z_{1}\;\omega _{1}=Z_{2}\;\omega _{2}}$ 

de donde despejamos la velocidad de giro de la segunda rueda:

${\displaystyle \omega _{2}={\cfrac {Z_{1}\;\omega _{1}}{Z_{2}}}}$ 

que para los valores del problema resulta:

${\displaystyle \omega _{2}={\cfrac {18\cdot 25rpm}{30}}=15rpm}$ 

• Transmisión mecánica