Teorema de Euler

Si n es un número entero, la cantidad de enteros entre 1 y n que son primos relativos con n se denota como φ(n):

A la función φ se le conoce como función φ de Euler. Tal función es multiplicativa: si m y n son primos relativos, entonces

φ(mn)=φ(m)φ(n).

Demostracion: Sabemos que:

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p_{i}|n}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right){\text{ con }}p_{i}{\text{ primo}},}$ 

de manera que:

${\displaystyle \varphi (n)\varphi (m)=mn\prod _{p_{i}|n}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)\prod _{q_{i}|m}\left(1-{\frac {1}{q_{i}}}\right)}$ 

Como ${\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=1}$ , ninguno de los primos ${\displaystyle p_{i}}$  y ${\displaystyle q_{i}}$  son iguales, luego la descomposición en primos de ${\displaystyle mn}$  no se ve alterada, es decir, si ${\displaystyle m=q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}...q_{k}^{\beta _{1}}}$  y ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{j}^{\alpha _{j}}}$  la descomposición en primos de ${\displaystyle mn}$  será ${\displaystyle mn=q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}...q_{k}^{\beta _{1}}p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{j}^{\alpha _{j}}}$ , lo cual implica

${\displaystyle \varphi (mn)=mn\prod _{p_{i}|n}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)\prod _{q_{i}|m}\left(1-{\frac {1}{q_{i}}}\right)}$ 

por lo tanto

${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$ 

si ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  son primos relativos.

El otro concepto involucrado en el teorema de Euler es el de congruencia. En teoría de números, se dice que dos números a, b son congruentes respecto a un módulo n, cuando n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto al módulo n se simboliza como a ≡ b (mod n).

La congruencia de números se comporta de manera similar a una igualdad (formalmente, es una relación de equivalencia):

• Si a≡b (mod n) entonces: a+c≡b+c (mod n) y ac ≡ bc (mod n) para cualquier entero c. Es decir, se puede sumar o multiplicar una misma cantidad a ambos lados de una congruencia y se preserva la relación.
• Si a≡b (mod n) y b≡c (mod n) entonces a≡c (mod n). Es otras palabras, la relación es transitiva.

Un ejemplo sencillo para entender la aritmética con congruencias lo proporciona un reloj de manecillas, ya que las horas en un reloj se comportan como congruencias módulo 12. Por ejemplo, las 15 y las 3 horas son indicadas por la misma posición en el reloj; esta equivalencia se escribiría como

• 15 ≡ 3 (mod 12)

y se obtiene de que 12 divide a 15-3.

Si ahora el reloj marca las 5, dentro de 30 horas marcará las 11, porque 12 divide a 35-11 =24 y así:

• 5+30 = 35 ≡ 11 (mod 12).

Una particularidad de las congruencias, que la diferencia de la igualdad común es que, aunque podemos sumar o multiplicar una misma cantidad a ambos lados de una congruencia preservándola, no podemos hacer lo mismo con una división:

• 6· 4 ≡ 3·4 (mod 6), pues 6 divide a 24-12; sin embargo no es cierto que 6 ≡ 3 (mod 6).

Sin embargo, hay un caso especial en el que sí es posible efectuar tal cancelación: cuando el factor y el módulo son primos relativos:

• Dado que 5·4 ≡ 5·10 (mod 6) y el máximo común divisor de 5 y 6 es 1 (es decir, son primos relativos), entonces podemos cancelar el 5 y obtener 4 ≡ 10 (mod 6).

La prueba original del teorema de Euler, en notación moderna, se desarrolla en los siguientes pasos.

Es importante recalcar que la cancelación solo es posible puesto que u y n son primos relativos. De manera similar, el tercer paso (los elementos de Q son congruentes a los de P) solo puede obtenerse debido a que a y n son primos relativos.

Una aplicación del teorema de Euler es en la resolución de ecuaciones de congruencia.

Por ejemplo, se desea encontrar todos los números x que satisfacen

5x ≡ 2 (mod 12)

en otras palabras, todos los números que al multiplicarlos por 5, dejan residuo 2 en la división por 12. O de otra forma, todos los números x tales que 12 divida a 5x-2.

El teorema de Euler dice que

5^φ(12) = 5⁴ ≡ 1 (mod 12)

por lo que, multiplicando ambos lados de la ecuación por 5³:

5³ · 5x ≡5³·2 =250 ≡ 10 (mod 12)

5⁴ x ≡ 10 (mod 12)

x≡10 (mod 12)

Entonces, la conclusión es que, cualquier número que al dividirse por 12 tenga residuo 10, será una solución de la ecuación. Por ejemplo, si se divide 34 entre 12, el residuo es 10, por lo que x=34 debe funcionar como solución. Para verificarlo, se divide 34·5=170 entre 12, obtenemos un cociente 14 y un residuo 2, como se esperaba.

El teorema de Euler es una generalización del teorema de Fermat que establece:

Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era usual en él, omitió la prueba del mismo:

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1. (...) Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno. (...) Y esta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y todos los números primos; te enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga.

Pierre de Fermat

No fue sino hasta que Euler probó su teorema, que quedó demostrado el resultado de Fermat, pues es un corolario del teorema de Euler. En notación de congruencias, el teorema de Fermat establece que

En la afirmación original de Fermat, no se hace explícita la suposición de que a y p son primos relativos. Dado que si p es un número primo, todos los números {1,2,3,...,p-1} son primos relativos con p, se cumple que φ(p)=p-1 y por tanto el teorema de Fermat es una consecuencia directa del teorema de Euler. Por esta razón al teorema de Euler se lo conoce en ocasiones como teorema de Euler-Fermat.

• Andrews, George E. (1994). Number Theory. Dover. 0-486-68252-8. 
• Cohn, Harvey (1980). Advanced Number Theory. Dover. 0-486-64023-X. 
• Erdős, Paul; Surányi, Janos (2003). Topics in the theory of numbers (2a ed. edición). New York: Springer. 0-387-95320. 
• Amabda Bergeron; David White (septiembre de 2004). «Transcripción de la carta de Pierre de Fermat a Frénicle de Bessy.» (pdf). Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2006. Consultado el 24 de septiembre de 2007.