[go: up one dir, main page]

Serie de Taylor

expresión de una función como una suma infinita

En matemática, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando , se le denomina también serie de Maclaurin.

A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de (véase Serie de Laurent). Por ejemplo se puede desarrollar como serie de Laurent. La serie Taylor debe su nombre a Brook Taylor, que las introdujo en 1715.

Definición

editar

La serie de Taylor de una función real o compleja   infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

 
 
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo)

donde   denota el factorial de  . Utilizando la notación sigma, lo anterior puede ser escrito de manera compacta como

 

donde   denota la  -ésima derivada de   evaluada en el punto  . (La derivada de orden cero de   es definida como la propia   y tanto   como   son ambos definidos como  .)

En particular, cuando  , la serie es denominada: serie de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en   de la forma   siempre se puede hacer el cambio de variable   (con lo que   en la función a desarrollar original) para expresarla como   centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función   alrededor de a = 1 se puede tomar  , de manera que se desarrollaría   centrada en 0.

Ejemplos

editar

La serie de Taylor de un polinomio es el propio polinomio.

La serie de Maclaurin para   es la serie geométrica

 

por lo que la serie de Taylor para   en   es

 

Integrando la serie de Maclaurin de arriba, obtenemos la serie de Maclaurin de  , donde   denota el logaritmo natural

 

más general, la serie de Taylor para   en un punto arbitrario   es

 

La serie de Maclaurin de la función exponencial   es

 

Historia

editar

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: [1]​ el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[2]​ Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.[3]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.[4][5]​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente (véase las Series de Madhava).

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin.[6]​ Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quien recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Si   está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto (o intervalo en la recta real) centrada en   en el plano complejo entonces se dice que es analítica en el disco, por lo que para   en este disco,   está dada por la serie de potencia convergente

 

derivando con respecto a   la fórmula anterior   veces y evaluando   obtenemos

 

y en tal caso, la expansión en series de potencia coincide con la serie de Taylor. Por lo tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en   si y sólo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto en el disco.

Si   es igual a la suma de su serie de Taylor para toda   en el plano complejo entonces   es llamada entera. Los polinomios, la función exponencial   y las funciones trigonométrica seno y coseno, son ejemplos de funciones enteras. Ejemplos de funciones que no son enteras son el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arcotangente; para estas funciones la serie de Taylor no converge si   está alejado de  , esto es, la serie de Taylor diverge para   si la distancia entre   y   es mayor que el radio de convergencia. La serie de Taylor puede ser usada para calcular el valor de una función entera en cada punto si el valor de la función y todas sus derivadas son conocidas en cada punto.

Lista de Series de Maclaurin de algunas funciones comunes

editar
 
La función coseno
 
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos
 
Las dos imágenes superiores unidas

A continuación se enumeran algunas series de Maclaurin de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de  .

Función exponencial

editar

La función exponencial   tiene como serie de Maclaurin

 

y converge para toda  .

Logaritmo natural

editar

El logaritmo natural (en base  ) tiene como serie de Maclaurin

 
 

y convergen para  .

Serie geométrica

editar

La serie geométrica y sus derivadas tienen serie de Maclaurin

 

y todas convergen para  .

Serie binomial

editar

La serie binomial es la serie de potencias

 
cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados
 
Converge para   para cualquier  .
Cuando  , obtenemos la serie geométrica mencionada anteriormente

Las función trigonométricas usuales y sus inversas tienen como series de Maclaurin:

 

Todos los ángulos están expresados en radianes. Los números   son los números de Bernoulli mientas que   son los números de Euler.

Las funciones hiperbólicas tienen como series de Maclaurin

 

donde los números   son los números de Bernoulli.

 

Serie de Taylor en varias variables

editar

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable como

 

Como ejemplo, para una función de 2 variables  , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto   es:

 

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales, esto es

 

Una expansión en serie Taylor de segundo orden para funciones escalares de más de una variable puede ser escrito de manera compacta como

 

donde   es el gradiente de   en   y   es la matriz hessiana. Otra forma:

 

Aplicaciones

editar

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, la regla de l'Hôpital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Conjunto de operadores fraccionales

editar

El cálculo fraccional de conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",[7]​ es una metodología derivada del cálculo fraccional.[8]​ El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.[9][10][11]​ Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [12]​ y trabajos relacionados posteriores.[13][14][15]

 
Ilustración de algunas líneas generadas por el método de Newton–Raphson fraccional para la misma condición inicial   pero con diferentes órdenes   del operador fraccional implementado. Fuente: Applied Mathematics and Computation

El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero:  . Gracias a esta notación, L'Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar   en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».

El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden  . Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:

 

Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que  . Considerando una función escalar   y la base canónica de   denotada por  , el siguiente operador fraccional de orden   se define utilizando notación de Einstein:[16]

 

Denotando   como la derivada parcial de orden   con respecto al componente  -ésimo del vector  , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

 

cuyo complemento es:

 

Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:

 

Extensión a funciones vectoriales

editar

Para una función  , el conjunto se define como:

 

donde   denota el  -ésimo componente de la función  .

Conjunto de operadores fraccionales

editar

Sea   el conjunto  . Si   y  , entonces es posible definir la siguiente notación multi-índice:

 

Entonces, considerando una función   y el operador fraccional:

 

se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

 

De donde se obtienen los siguientes resultados:

 

Como consecuencia, considerando una función  , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

 

Conjunto de operadores fraccionales

editar

Considerando una función   y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

 

Entonces, tomando una bola  , es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

 

el cual permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multi-índice. Como consecuencia, es posible obtener el siguiente resultado:

 


Véase también

editar

Referencias

editar
  1. Lindberg, David (2007). The Beginnings of Western Science (en inglés) (2nd edición). University of Chicago Press. p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7. 
  2. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
  3. Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
  4. «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2006. Consultado el 9 de julio de 2006. 
  5. S. G. Dani (2012). «Ancient Indian Mathematics – A Conspectus». Resonance (en inglés) 17 (3): 236-246. S2CID 120553186. doi:10.1007/s12045-012-0022-y. 
  6. Turnbull, Herbert Westren, ed. (1939). James Gregory; Tercentenary Memorial Volume. G. Bell & Sons. pp. 168-174. Roy, Ranjan (1990). «The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha». Mathematics Magazine 63 (5): 291-306. doi:10.1080/0025570X.1990.11977541. Malet, Antoni (1993). «James Gregorie on Tangents and the "Taylor" Rule for Series Expansions». Archive for History of Exact Sciences 46 (2): 97-137. JSTOR 41133959. S2CID 120101519. doi:10.1007/BF00375656. 
  7. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods
  8. Applications of fractional calculus in physics
  9. A review of definitions for fractional derivatives and integral
  10. A review of definitions of fractional derivatives and other operators
  11. How many fractional derivatives are there?
  12. Fractional Newton-Raphson Method
  13. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers
  14. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming
  15. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications
  16. Einstein summation for multidimensional arrays

Bibliografía adicional

editar

Enlaces externos

editar