Movimiento parabólico

 

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y avance vertical, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales en que la resistencia al avance es nulo y el campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. El tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo que tarda en recorrer la mitad de su distancia horizontal, es decir, el tiempo total necesario para alcanzar la distancia horizontal máxima es el doble del tiempo empleado en alcanzar su altura máxima.

 

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1. ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{0}\,\cos {\phi }\,\mathbf {i} +v_{0}\,\sin {\phi }\,\mathbf {j} }$ 
2. ${\displaystyle \mathbf {a} =-g\,\mathbf {j} }$ 

donde:

${\displaystyle v\,}$  es el módulo de la velocidad final.

${\displaystyle v_{0}\,}$ es el módulo de la velocidad inicial.

${\displaystyle \phi \,}$  es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

${\displaystyle g\,}$  es la aceleración de la gravedad.

${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} }$  son dos versores (vectores unitarios) en el plano.

La velocidad final se compone de dos partes:

${\displaystyle v_{0}\,\cos {\phi }}$  que se denomina como la velocidad horizontal del movimiento.

En lo sucesivo ${\displaystyle v_{x}\,}$ 

${\displaystyle v_{0}\,\sin {\phi }}$  que se denomina como la velocidad vertical del movimiento.

En lo sucesivo ${\displaystyle v_{y}\,}$ 

Se puede expresar la velocidad final de este modo:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\,+v_{y}\,}$  : [ecu. 1]

Será la que se utilice, en los casos en los que no deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

La única aceleración que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

${\displaystyle \mathbf {a} =-g\,\mathbf {j} }$ 

Que es vertical y hacia abajo.

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} ={\cfrac {d\mathbf {v} }{dt}}=-g\mathbf {j} \\\mathbf {v} (0)=v_{0x}\mathbf {i} +v_{0y}\mathbf {j} \end{cases}}}$ 

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v_{0x}\mathbf {i} +(v_{0y}-gt)\mathbf {j} }$ 

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

 

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} ={\cfrac {d\mathbf {r} }{dt}}=v_{0x}\mathbf {i} +(v_{0y}-gt)\mathbf {j} \\\mathbf {r} (0)=x_{0}\mathbf {i} +y_{0}\mathbf {j} \end{cases}}}$ 

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(v_{0x}\;{t}+x_{0})\,\mathbf {i} +\left(-{\frac {1}{2}}g{t^{2}}+v_{0y}\;t+y_{0}\right)\,\mathbf {j} }$ 

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parábola pero no exactamente. El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balística.

En teoría de la relatividad para que un móvil ejecute una trayectoria parabólica se requiere un campo de fuerzas no uniforme o una fuerza dependiente del tiempo. Sin embargo, es interesante estudiar un análogo aproximado que sería el de un móvil sometido a una fuerza constante que no sea paralela a la velocidad, esto ocasiona un movimiento cuasiparabólico. Este es, por ejemplo, con gran aproximación el movimiento que ejecuta un electrón u otra partícula cargada frente a una placa plana cargada uniformemente (condensador plano). La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante, alineada con la dirección X es:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}\left({\cfrac {v_{x}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}\right)={\cfrac {F}{m_{0}}}=w\\{\cfrac {d}{dt}}\left({\cfrac {v_{y}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}\right)=0\\v_{x}(0)=V_{0,x},\ v_{y}(0)=V_{0,y}\end{cases}}}$ 

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De la segunda de estas ecuaciones se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {v_{y}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}=\beta _{y}\quad \Rightarrow \quad v_{y}(t)=\beta _{y}{\sqrt {\frac {c^{2}-v_{x}^{2}(t)}{c^{2}+\beta _{y}^{2}}}}}$ 

Siendo ${\displaystyle \beta _{y}}$  una constante de integración que debe determinarse a partir de las condiciones de contorno. De la segunda ecuación diferencial se obtiene:

${\displaystyle {\frac {v_{x}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}=wt+\beta _{x}\quad \Rightarrow \quad v_{x}(t)={\frac {wt+\beta _{x}}{\sqrt {1-{\cfrac {(wt+\beta _{x})^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}}}$ 

Integrando esta última ecuación se tiene:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{w}}\left[{\sqrt {1-{\frac {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {(wt+\beta _{x})^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}\right]}$ 

• Trayectoria balística
• Velocidad relativa
• Cinemática
• Caída libre

• Koetsier, Teun (1994), «§8.3 Kinematics», en Grattan-Guiness, Ivor, ed., Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 2, Routledge, pp. 994-1001, ISBN 0-415-09239-6 .
• Moon, Francis C. (2007). The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0. 
• Eduard Study (1913) D.H. Delphenich translator, "Foundations and goals of analytical kinematics".
• «Analytical Ballistic Trajectories with Approximately Linear Drag». International Journal of Computer Games Technology (Hindawi Publishing Corporation) 2014: 1-13. 2014. doi:10.1155/2014/463489.