Congruencia de Zeller

La congruencia de Zeller es un algoritmo ideado por Julius Christian Johannes Zeller para calcular el día de la semana de cualquier fecha del calendario.^{[cita requerida]}

Para el calendario gregoriano la congruencia de Zeller es:

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {(m+1)26}{10}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor -2J\right)\mod 7,}$

para el calendario juliano es:

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {(m+1)26}{10}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +5-J\right)\mod 7,}$

donde:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ representa la función de parte entera de redondeo.

${\displaystyle mod}$ es la operación módulo que extrae el residuo de la división entre dos números.

${\displaystyle h}$ es el día de la semana (0 = sábado, 1 = domingo, 2 = lunes, 3 = martes, 4 = miércoles, 5 = jueves, 6 = viernes).

${\displaystyle q}$ es el día del mes.

${\displaystyle m}$ es el mes (3=marzo, 4=abril, ${\displaystyle \dots }$, 13=enero, 14=febrero). Enero y febrero se cuentan como los meses 13 y 14 del año anterior. Es decir, que, en el caso del 2 de enero de 2013, ${\displaystyle m=}$13 y el año es 2012.

${\displaystyle J}$ es la centuria. Es el redondeo inferior de la fracción ${\displaystyle a{\tilde {n}}o \over 100}$.

${\displaystyle K}$ el año de la centuria. Se calcula como ${\displaystyle a{\tilde {n}}o\ {\mbox{mod}}\ 100}$.

En las implementaciones informáticas en las cuales el módulo de un número negativo es negativo, la manera más sencilla de obtener un resultado entre 0 y 6 es reemplazar ${\displaystyle -2J}$ por +${\displaystyle 5J}$ y ${\displaystyle -J}$ por ${\displaystyle +6J}$.

Las fórmulas se basan en la definición matemática de división de módulo, lo que significa que ${\displaystyle -2\ mod\ 7}$ es igual a 5 positivo. Desafortunadamente, la mayoría de los lenguajes de computadora implementan la función de residuo, en forma tal que ${\displaystyle -2\ mod\ 7}$ devuelve un resultade -2. Entonces, para implementar la congruencia de Zeller en una computadora, las fórmulas deben modificarse ligeramente para asegurar un numerador positivo. La forma más sencilla de hacerlo es reemplazar ${\displaystyle -2J}$ por ${\displaystyle +5J}$ y ${\displaystyle -J}$ por ${\displaystyle +6J}$. Entonces, las fórmulas se transforman así:

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor +5J\right){\bmod {7}},}$

para el calendario gregoriano, y:

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +K+\left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor +5+6J\right){\bmod {7}},}$

para el calendario juliano.

Uno puede ver fácilmente que, en un año determinado, el 1 de marzo (si es un sábado, luego el 2 de marzo) es una buena fecha de prueba y que, en un siglo dado, el mejor año de prueba es aquel que sea un múltiplo de 100. Zeller usó la aritmética decimal, y encontró conveniente usar ${\displaystyle J}$ y ${\displaystyle K}$ para representar el año. Pero cuando se usa una computadora, es más sencillo manejar el año modificado ${\displaystyle Y}$, que es ${\displaystyle Y-1}$ durante enero y febrero:

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {Y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {Y}{400}}\right\rfloor \right){\bmod {7}},}$

para el calendario gregoriano (en este caso no hay posibilidad de desbordamiento porque ${\displaystyle \left\lfloor Y/4\right\rfloor \geq \left\lfloor Y/100\right\rfloor }$), y

${\displaystyle h=\left(q+\left\lfloor {\frac {13(m+1)}{5}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +5\right){\bmod {7}},}$

para el calendario Juliano.

Estas fórmulas se basan en la observación de que el día de la semana progresa de una manera predecible basada en cada subparte de esa fecha. Cada término de la fórmula se usa para calcular el desplazamiento necesario para obtener el día correcto de la semana.

Por tanto, para el calendario gregoriano, las diversas partes de esta fórmula pueden entenderse así:

• ${\displaystyle q}$ representa la progresión del día de la semana basada en el día del mes, dado que cada día sucesivo resulta en un desplazamiento adicional de 1 en el día de la semana.

• ${\displaystyle K}$ representa la progresión del día de la semana basada en el año. Suponiendo que cada año tiene 365 días, la misma fecha de cada año sucesivo será desplazada por un valor de ${\displaystyle 365\mod 7=1}$.

• Como hay 366 días en cada año bisiesto, esto de debe tener en cuenta añadiendo un día adicional al valor de desplazamiento del día de la semana. Esto se logra añadiendo ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {K}{4}}\right\rfloor }$ al desplazamiento. Este término se calcula como un resultado entero. Cualquier resto que pueda haber es descartado.

• Usando una lógica similar, se puede calcular la progresión del día de la semana para cada centuria observando que hay 36524 días en una centuria normal, y 36525 en cada centuria divisible por 400. Dado que ${\displaystyle 36525\mod 7=6}$ y ${\displaystyle 36524\mod 7=5}$, el término: ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor -2J}$ refleja esto (de nuevo usando división entera y descartando cualquier resto fraccional). Para evitar los números negativos, este término se puede reemplazar por ${\displaystyle 5J+\left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor }$ con un resultado equivalente.

• El término ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(m+1)26}{10}}\right\rfloor }$ se puede explicar de la siguiente manera. Zeller observó que, al iniciar cada año el 1 de marzo, el día de la semana de cada mes sucesivo progresaba multiplicando el mes por un valor constante y descartando el resto fraccional.

• La función global, ${\displaystyle \mod 7}$, normaliza el resultado para que se encuentre en el intervalo de 0 a 6, lo que da el índice del día de la semana correcto para la fecha analizada.

La razón por la que la fórmula difiere para el calendario juliano es que este calendario no tiene una regla aparte para las centurias bisiestas y está desplazado con respecto al calendario gregoriano un número fijo de días. Ambas diferencias se pueden tener en cuenta reemplazando el término ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {J}{4}}\right\rfloor -2J}$ por el término ${\displaystyle 5-J}$, o ${\displaystyle 5+6J}$ para evitar números negativos.

Dado que el calendario gregoriano fue adoptado en diferentes momentos en diferentes partes del mundo, la ubicación de un evento es significativa a la hora de determinar el día de la semana correcto de una fecha que tuvo lugar durante este periodo de transición.

Algoritmo Z(y, m, d)
  Entrada: El año y, mes m (1 ≤ m ≤ 12) y día d (1 ≤ d ≤ 31).
  Salida: El día de la semana.

  t ← (0, 3, 2, 5, 0, 3, 5, 1, 4, 6, 2, 4)
  n ← (domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado)

  if m < 3
    y ← y - 1

  w ← (y + ⌊y/4⌋ - ⌊y/100⌋ + ⌊y/400⌋ + tm-1 + d) mod 7

  devolver nw

Una forma más fácil de ver el mismo desarrollo es la siguiente

a = (14 - Mes) / 12
y = Año - a
m = Mes + 12 * a - 2

Para el calendario Juliano:
d = (5 + dia + y + y/4 + (31*m)/12) mod 7

Para el calendario Gregoriano:
 d = (día + y + y/4 - y/100 + y/400 + (31*m)/12) mod 7
El resultado es un cero (0) para el domingo, 1 para el lunes… 6 para el sábado

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Ejemplo, ¿En qué día de la semana cae el 2 de agosto de 1953??
' a = (14 - 8) / 12 = 0
' y = 1953 - 0 = 1953
' m = 8 + 12 * 0 - 2 = 6
' d = (2 + 1953 + 1953 / 4 - 1953 / 100 + 1953 / 400 + (31 * 6) / 12) Mod 7
'   = (2 + 1953 +  488   -    19   +     4    +    15    ) mod 7
'   = 2443 mod 7
'   = 0
'  El valor cero(0) corresponde al domingo.

La norma ISO 8601:2004, en su apartado 3.2.2 define el código de los días de la semana así como los nombres de los días de la semana (evidentemente están en inglés) pero lo que interesa resaltar es que la numeración que propone el estándar no coincide con la numeración que proporciona el algoritmo de Zeller (y por tanto, la función [DayOfWeek]) la diferencia está en la forma de contar, el algoritmo de Zeller proporciona valores del 0 (sábado) 1 domingo… hasta al 6(viernes), mientras que la norma ISO 8601, dice que los valores van desde el 1 lunes al 7 domingo.

• Regla del fin del mundo

• Paul E. Black, Zeller's congruence en el Diccionario de algoritmos y estructuras de datos del NIST.
• Christian Zeller, "Kalender-Formeln", Acta Mathematica 9 (1886) 131-6.
• Wenceslao Segura, Teorema de congruencia de Zeller, en viXra.org

• The Calendrical Works of Rektor Chr. Zeller: The Day-of-Week and Easter Formulae Archivado el 29 de julio de 2013 en Wayback Machine.
• Algoritmo de Zeller y prueba interactiva
• En qué día de la semana naciste
• Código en JavaScript para calcular el día de la semana