Ora proporcio

Listo de nombroj – Neracionalaj nombroj ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
En duuma sistemo	1.1001111000110111011...
En dekuma sistemo	1.6180339887498948482...
En deksesuma sistemo	1.9E3779B97F4A7C15F39...
kiel senfina frakcio	${\displaystyle 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$
kiel senfina radiko	${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}$
Algebra nombro	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Du kvantoj pozitivaj a kaj b estas en la ora proporcio ${\displaystyle \varphi }$ , se

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.}$ 

Ĉi tiu ekvacio difinas senambigue la nombron ${\displaystyle \varphi .\,}$ 

La ekvacio dekstra montras, ke ${\displaystyle a=b\varphi }$ , kion ni substituu en la maldekstra parto:

${\displaystyle {\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.}$ 

Oni povas elimini b-on, kio donas

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi \,;}$ 

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi \,.}$ 

Multiplikante ambaŭ flankojn per ${\displaystyle \varphi }$  kaj transŝovante terminojn, ni ricevas

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0.}$ 

La nura pozitiva solvo de ĉi tiu kvadrata ekvacio estas

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\dots \,}$ 

Ora vico pri a₀ = 1

${\displaystyle z}$	${\displaystyle a_{z}=\Phi ^{z}\cdot a_{0}}$
4	≈ 6,854	${\displaystyle \Phi ^{4}=3\cdot \Phi +2}$
3	≈ 4,236	${\displaystyle \Phi ^{3}=2\cdot \Phi +1}$
2	≈ 2,618	${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi +1}$
1	≈ 1,618	${\displaystyle \Phi }$
0	= 1,000	${\displaystyle \Phi ^{0}=1}$
−1	≈ 0,618	${\displaystyle \Phi ^{-1}=\Phi -1}$
−2	≈ 0,382	${\displaystyle \Phi ^{-2}=-\Phi +2}$
−3	≈ 0,236	${\displaystyle \Phi ^{-3}=2\cdot \Phi -3}$
−4	≈ 0,146	${\displaystyle \Phi ^{-4}=-3\cdot \Phi +5}$

Pri donita nombro ${\displaystyle a_{0}}$ , konstruu sekvencon ${\displaystyle a_{z}:=\Phi ^{z}\cdot a_{0}}$  por ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$ . Ĉi tiu vico havas la proprecon, ke ĉiu tri sinsekvaj termoj ${\displaystyle (a_{z-1},a_{z},a_{z+1})}$  kongruas al oraj proprcioj, tio estas:

${\displaystyle {\frac {a_{z}}{a_{z-1}}}={\frac {a_{z+1}}{a_{z}}}}$  kie ${\displaystyle a_{z+1}=a_{z}+a_{z-1}}$  por ĉiuj ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} \ .}$ 

Ĉi tiu vico grave rolas en la teorio de proporcioj en arto kaj arĥitekturo, ĉar por donita longo ${\displaystyle a_{0}}$  aliaj harmoniaj aspektoj povas esti generitaj. Kiel rezulto, objektoj de tre malsamaj dimensioj, kiel fenestro kaj larĝa ĉambro, povas esti rilatigitaj per la ora proporcio kaj krei tutan serion de harmoniaj dimensioj.

Valoras noti sur la apuda tabelo, ke pri ${\displaystyle a_{0}=1}$  pri la tri elementoj de la vico ${\displaystyle a_{-1},\ a_{1}}$  kaj ${\displaystyle a_{2}}$ , la diferenco inter ili estas entjero.

• Arĝenta proporcio
• Ora angulo
• Ora funkcio
• Ora ortangulo
• Ora triangulo
• Ora dispartiga serĉo
• Ora proporcia bazo
• Logaritma spiralo
• Fibonaĉi-nombroj
• Sankta geometrio
• Plastika nombro
• Dinamika simetrio