Matricoj de Pauli

La matricoj de Pauli estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko. La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj. Ilia simbolo estas la greka litero sigmo: $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ (sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene:

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli, kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko.

Iafoje oni uzis la "nulan" matricon de Pauli $\sigma _{0}=I$ (t.e. la 2×2 identan matricon) kune kun la normalaj tri matricoj de Pauli. Tiam, la kvar matricoj formas bazon de la vektora spaco de tutaj memadjunktaj matricoj (inkludante nenulspurajn matricojn).

Karakterizaĵoj

Ili kvadratiĝas al identa matrico:

\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I

.

Ili estas nulspuraj kaj havas determinanton $-1$ :

\operatorname {tr} \sigma _{i}=0

.

\det \sigma _{i}=-1

Iliaj du ejgenoj estas ±1. Iliaj ejgenvektoroj estas jene:

{\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}

Iliaj komutkrampoj estas jene:

[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon _{abc}\sigma _{c}

\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\cdot I

.

(Jena $\varepsilon _{abc}$ estas la simbolo de Levi-Civita.) Iliaj produtoj estas jene:

\sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}\cdot I+i\sum _{c}\epsilon _{abc}\sigma _{c}

.

Vektoro de Pauli

Iafoje oni uzas la vektoron de Pauli, kiu estas vektoro kun tri matricaj komponantoj.

{\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}

.

Oni uzas ĝin konverti inter 3-dimensiaj vektoroj kaj 2×2 nulspuraj memadjunktaj matricoj jene:

{\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{i}.\end{aligned}}

Vidu ankaŭ

Referencoj

Liboff, Richard L.. (2002) Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
Schiff, Leonard I.. (1968) Quantum Mechanics. McGraw-Hill. ISBN 007-Y85643-5.
Leonhardt, Ulf. (2010) Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. ISBN 0-5211-4505-8.