Leĝo de sinusoj

 

Kiam uzanta la leĝo de sinusoj estas uzata por solvi triangulon, sub specifaj kondiĉoj ekzistas ambigua okazo, kiam eblas du malsamaj solvaĵoj kaj du malsamaj trianguloj povas esti konstruitaj.

Donita ĝenerala triangulo ABC, ĉiuj jenaj kondiĉoj devas esti veraj por ke la okazo estu ambigua:

• La nura informo sciata pri la triangulo estas la angulo A kaj la lateroj a kaj b.
• La angulo A estas akuta (A<90°).
• La latero a estas pli mallonga ol latero b (a<b).
• La latero a estas pli longa ol la kateto de orta triangulo kun angulo A kaj hipotenuzo b (a > b sin A).

Tiam, la angulo B povas esti kaj akuta aŭ malakuta:

${\displaystyle B=\arcsin {b\sin A \over a}}$ 

aŭ

${\displaystyle B=180^{\circ }-\arcsin {b\sin A \over a}}$ 

 

Estu triangulo kun la lateroj a, b, kaj c, kaj anguloj A, B, kaj C. Estu h longo de alto de angulo C al c. tiam:

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$ 

${\displaystyle \sin B={\frac {h}{a}}}$ 

Pro tio

${\displaystyle h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)}$ 

kaj

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}.}$ 

Farante la samon kun alto inter angulo A kaj latero a oni ricevas na:

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$ 

 

Estu kvaredro kun verticoj O, A, B, C. Tiam:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA\\&=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\end{aligned}}}$ 

La du flankoj de ĉi tiu idento respektivas al laŭhorloĝnadla kaj kontraŭhorloĝnadla orientiĝoj de la surfaco.

Metante ĉiun el la kvar verticoj en la rolo de O oni ricevas kvar tiajn identojn, sed maksimume tri el ili estas sendependa: Se la laŭhorloĝnadlaj flankoj de tri el ili estas multiplikitaj kaj la produto estas konkludita al esti egala al la produto de la kontraŭhorloĝnadlaj flankoj de la samaj tri identoj, kaj tiam komunaj faktoroj estas forigitaj de ambaŭ flankoj, la rezulto estas la kvara idento. Unu kaŭzo al havi intereson al ĉi tiu sendependeco de rilatoj estas ĉi tiu: tri anguloj estas la anguloj de iu triangulo se kaj nur se ilia sumo estas duono-cirklo; kia kondiĉo sur 12 anguloj estas necesa kaj sufiĉa por ke ili estu la 12 anguloj de iu kvaredro? Klare la sumo anguloj de ĉiu edro de la kvaredro devas esti duono-cirklo. Pro tio ke estas kvar tiaj trianguloj, estas kvar tiaj limigoj sur sumoj de anguloj, kaj la kvanto de gradoj de libereco estas pro tio malpligrandigita de 12 al 8. La kvar rilatoj donitaj per ĉi tiu sinusaj leĝo plu malpligrandigas la kvanton de gradoj de libereco, sed ne de 8 suben ĝis 4, sed nur de 8 suben ĝis 5, pro tio ke la kvara limigo estas ne sendependa de la unuaj tri. Tial la spaco de ĉiuj formoj de kvaredroj estas 5-dimensia.

• Triangulado
• Leĝo de kosinusoj
• Leĝo de tangentoj

• Areo kaj leĝo de sinusoj Arkivigite je 2008-04-18 per la retarkivo Wayback Machine je PlainMath
• Leĝo de sinusoj Arkivigite je 2008-05-16 per la retarkivo Wayback Machine
• Leĝo de sinusoj je tranĉi-la-nodon
• Grado de kurbeco
• Leĝo de sinusoj Arkivigite je 2008-04-18 per la retarkivo Wayback Machine je PlainMath