Evoluto

Estu γ(s) ebena kurbo, parametrigis per ĝia longo de arko s. La unuobla tanĝanta vektoro al la kurbo estas

T(s) = γ' (s)

kaj la unuobla normala vektora al la kurbo estas N(s) perpendikularo al T(s) elektita tiel ke la paro (T, N) havas dekstruman orientiĝon.

La kurbeco k(s) de γ(s) estas tiam difinita per ekvacio

${\displaystyle T'(s)=k(s)N(s)}$ 

por ĉiu s en la domajno de γ(s). La kurbecoradiuso estas inverso de la kurbeco:

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{k(s)}}}$ 

La kurbecoradiuso laŭ la absoluta valoro estas radiuso de kurbecocirklo - cirklo kiu formas la plej bonan proksimumadon de la kurbo ĝis la dua ordo je la punkto: tio estas, ĝi estas radiuso de la cirklo kiu havas kontakton de la dua ordo kun la kurbo. La signo de la kurbecoradiuso indikas direkton en kiu la kurbecocirklo estas de la direkto de la kurbo: kurbecoradiuso estas pozitiva se la cirklo estas en kontraŭhorloĝnadla direkto, alie negativa.

La kurbecocentro estas centro de la kurbecocirklo. Ĝi kuŝas sur la orta linio al γ(s) je distanco de R de γ(s), en la direkto difinita per la signo de k. Tiel, la kurbecocentro estas je punkto:

${\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s)\mathbf {N} (s)=\gamma (s)+{\frac {1}{k(s)}}\mathbf {N} (s)}$ 

Kiam s ŝanĝiĝas, la kurbecocentro moviĝas kaj difinis laŭ ĉi tiuj ekvaciaj la novan kurbon, kiu estas la evoluto de γ(s).

Se la kurbo estas donita per ĝenerala parametrigo γ(t) = (x(t), y(t)), kiu ne nepre estas parametrigo laŭ longo de arko, la parametra ekvacio de la evoluto povas esti esprimita per la kurbecoradiuso R=1/k kaj la tanĝanta angulo φ, kiu estas angulo inter tanĝanto al la kurbo kaj la x-akso. Per R kaj φ, la evoluto havas parametran ekvacion

${\displaystyle (X,Y)=(x,y)+RN=(x-R\sin \varphi ,y+R\cos \varphi )}$ 

kie la unuobla normala vektoro N' = (-sin φ, cos φ) estas ricevita per turnado de la unuobla tanĝanta vektoro T = (cos φ, sin φ) je angulo 90°.

La ekvacio de la evoluto povas ankaŭ esti skribita tute per x, y kaj iliaj derivaĵoj. Pro tio ke

${\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )={\frac {(x',y')}{(x'^{2}+y'^{2})^{1/2}}}}$  kaj ${\displaystyle R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}}}$ 

R kaj φ povas esti eliminitaj kaj rezultiĝas:

${\displaystyle X=x-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$ 

${\displaystyle Y=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$ 

Estu la kurbo γ(s) parametrigita kun respekto al ĝia longo de arko s. Tiam la longo de arko laŭ la evoluto E de s₁ al s₂ estas

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|{\frac {dR}{ds}}\right|ds}$ 

Tial, se la kurbeco de γ(s) estas severe monotona, tiam

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|{\frac {dR}{ds}}\right|ds=|R(s_{2})-R(s_{1})|}$ 

Ekvivalente, se σ estas la longo de arko de la kurbo E,

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{ds}}=\left|{\frac {dR}{ds}}\right|}$ 

Ĉi tio sekvas per diferencialado de la formulo

${\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s)\mathbf {N} (s)}$ 

kaj la idento de Frenet N'(s) = -k(s)T(s):

${\displaystyle E'(s)=\gamma '(s)+R'(s)N(s)-T(s)=R'(s)N(s)}$  (*)

kaj

${\displaystyle {\frac {dE}{ds}}={\frac {dR}{ds}}N(s)}$ 

de kio sekvas ke ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{ds}}=\left|{\frac {dR}{ds}}\right|}$ .

Alia konsekvenco de (*) estas ke la tanĝanta vektoro al la evoluto E je s estas normala al la kurbo γ je s.

La kurbeco de la evoluto E estas ricevata per diferencialado de E dufoje kun respekto al ĝia longo de arko σ. Pro tio ke dσ/ds = |dR/ds|, el (*) sekvas ke

${\displaystyle {\frac {dE}{d\sigma }}=\left.{\frac {dE}{ds}}\right/{\frac {d\sigma }{ds}}=\pm \mathbf {N} }$ 

kie la signo estas tiu de dR/ds. Diferencialante la duan fojon, kaj uzante la ekvacion de Frenet N'(s) = -k(s)T(s) rezultiĝas

${\displaystyle {\frac {d^{2}E}{d\sigma ^{2}}}=\pm \left.{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}\right/{\frac {d\sigma }{ds}}=-{\frac {1}{R{\frac {dR}{ds}}}}{\frac {dE}{d\sigma }}}$ 

Tiel la kurbeco de E estas

${\displaystyle k_{E}=-{\frac {1}{R{\frac {dR}{ds}}}}}$ 

kie R estas la (signa) kurbecoradiuso.

 

Per la pli supre diskuto, la derivaĵo de evoluto nuliĝas kiam dR/ds = 0, tiel la evoluto havas kuspon kiam la kurbo havas verticon, tio estas kiam la kurbeco havas lokan maksimumon aŭ lokan minimumon. Je trafleksa punkto de la originala kurbo la kurbecoradiuso iĝas malfinion kaj tiel la evoluto iras en malfinion, ofte ĉi tio rezultiĝas en tio ke la evoluto havas asimptoton. Simile, kiam la originala kurbo havas kuspon kie la kurbecoradiuso estas 0 tiam la evoluto tuŝas la originalan kurbon.

Kurboj kun la sama evoluto estas paralelaj kurboj.

• La evoluto de parabolo (matematiko) estas duonkuba parabolo. La kuspo de la lasta kurbo estas la kurbecocentro de la fonta parabolo je ĝia vertico.

• La evoluto de cikloido estas simila cikloido.

• La evoluto de logaritma spiralo estas kongrua spiralo.

Kurbo kun simila difino estas la radiusa kurbo de donita kurbo. Por ĉiu punkto sur la kurbo prenu la vektoron de la punkto al la kurbecocentro kaj desegnu ĝin de la punkto (0, 0). Tiam la situo de punktojn je finoj de ĉi tiaj vektoroj estas nomata kiel la radiusa kurbo de la fonta kurbo. La ekvacio por la radiusa estas ricevita per forprenado la termoj x kaj y de la ekvacio de la evoluto:

X = -R sin φ, Y = R cos φ

aŭ

${\displaystyle X=-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$ 

${\displaystyle Y=x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$ 

• Evolutoj de 2d kurboj
• Evoluto ĉe MathWorld