Ebeno (matematiko)

Kiel la eŭklida spaco, ebeno estas tia spaco, kiu, estante du malsamaj punktoj, enhavas la unikan rekton, kiu trapasas tiujn punktojn.

Ebeno kiu estas eŭklida spaco estas nomata kiel eŭklida ebeno aŭ ℝ².

La fundamenta strukturo de tiaj du ebenoj ĉiam estos la sama. En matematiko, tio estas topologia ekvivalento, kio signifas, ke ĉiuj ajn ebenoj ŝajnas egalaj.

En eŭklida ebeno povas esti difinita koordinatosistemo el du koordinatoj, kiu povas difini ĉiun punkton en la ebeno. Karteziaj koordinatoj estas plej kutime uzataj, ili tie havas abscison kaj ordinaton.

Tiu ĉi sekcio speciale traktas ebenojn lokitaj en tridimensia spaco, precipe en ℝ³.

Unu eŭklida ebeno povas esti unike difinita per iu ajn maniero sube:

• tri nerekte disigitaj punktoj
• unu rekto kaj unu punkto ekster de la rekto
• du rektoj kun komuna punkto
• du paralelaj rektoj

En tridimensia eŭklida spaco oni povas uzi jenajn ecojn de ebeno, kiuj ne ĉiam validas en spacoj kun pli granda dimensieco:

• Du ebenoj estas aŭ paralelaj, aŭ kruciĝas je rekta linio.
• Linio aŭ estas paralela al la ebeno, aŭ kruciĝas kun ĝi je unu punkto, aŭ tute apartenas al la ebeno.
• Du vertikalaj linioj, kiuj estas perpendikularaj al la sama ebeno estas paralelaj unu al la alia.
• Du ebenoj, perpendikularaj al la sama linio estas paralelaj unu al la alia.

En tridimensia spaco plia grava metodo difini ebenon estas indiki punkton kaj la vektoron, kiu estas perpendikulara al la ebeno.

Estu ${\displaystyle \mathbf {p} }$  la punkto, kie ni volas loki nian ebenon, kaj estu ${\displaystyle {\vec {n}}}$  nenula normala vektoro al tiu ebeno. La dezirata ebeno estas aro de ĉiuj punktoj ${\displaystyle \mathbf {r} }$  tiel, ke validas ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot (r-p)=0.}$ 

Se ni skribas ${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$  kaj d estas punkta produto ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot \mathbf {p} =-d}$ , tiam la ebeno ${\displaystyle \Pi }$  estas difinita per la kondiĉo ${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,}$ , kie a, b, c kaj d estas reelaj nombroj kaj a,b kaj c ne estas nulo(j).

Alternative, oni povas parametre priskribi ebenon kiel aron de ĉiuj punktoj de la formo ${\displaystyle {\vec {u}}+s{\vec {v}}+t{\vec {w}},}$  kie s kaj t varias tra ĉiuj reelaj nombroj, kaj ${\displaystyle {\vec {u}}}$ , ${\displaystyle {\vec {v}}}$  kaj ${\displaystyle {\vec {w}}}$  estas donitaj vektoroj, kiuj difinigas la ebenon. ${\displaystyle {\vec {u}}}$  projekcias de la origino de arbitra punkto sur la ebeno, kaj ${\displaystyle {\vec {v}}}$  kaj ${\displaystyle {\vec {w}}}$  povas esti videbligitaj kiel komencentaj en ${\displaystyle {\vec {u}}}$  kaj indikantaj al diversaj direktoj laŭlonge de la ebeno. ${\displaystyle {\vec {v}}}$  kaj ${\displaystyle {\vec {w}}}$  povas, sed ne nepre devas esti perpendikularaj.

• Ebeno, kiu trairas tra tri punktojn ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ , ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$  kaj ${\displaystyle \mathbf {p} _{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ , povas esti difinita kiel aro de ĉiuj punktoj (x,y,z), kiuj koheras al jena determinanta ekvacio:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$ 

• Por priskribi la ebenon kiel ekvacio en la formo ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ , oni solvu la jenan ekvaci-sistemon:

${\displaystyle \,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$ 

${\displaystyle \,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$ 

${\displaystyle \,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0}$ .

Tiu ĉi sistemo povas esti solvita pere de regulo de Cramer kaj bazaj matricaj operacioj. Estu ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$ . Tiam,

${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$ 

${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}$ 

${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}$ .

Tiuj ekvacioj estas parametraj en d. Se oni elektas d egala al ajna nenula nombro kaj anstataŭigas ĝin en tiuj ekvacioj, oni ricevas ununuran solvon.

• Tiu ebeno povas krome esti priskribita kiel "punkto kaj normala vektoro", same kiel estis indikite pli supre.

Adekvata normala vektoro rezultiĝas de kruca produto ${\displaystyle {\vec {n}}=(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),}$  kaj kiel la punkto ${\displaystyle \mathbf {p} }$  povas esti prenita ajna de la punktoj ${\displaystyle \mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2}}$  aŭ ${\displaystyle \mathbf {p} _{3}}$ .

Inter la ebeno ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}$  kaj la punkto ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ , kiu ne nepre kuŝas sur la ebeno, la plej mallonga distanco inter ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$  ĝis la ebeno estas

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$ 

El tiu sekvas, ke ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$  kuŝas sur la ebeno tiam kaj nur tiam, se D=0.

Se ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$ , kio signifas, ke a, b kaj c estis normigitaj, tiam la ekvacio fariĝas jena

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$ 

Oni konsideru la kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel ${\displaystyle \Pi _{1}:{\vec {n}}_{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}}$  kaj ${\displaystyle \Pi _{2}:{\vec {n}}_{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}}$ , tiam la linio de interkruciĝo estas perpendikulara al ambaŭ ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$  kaj ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$  kaj do paralela al ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}$  .

Se ni krome supozos, ke ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$  kaj ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$  estas ortonormalaj, tiam la plej proksima al la origino punkto sur la linio de interkruciĝo estas ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=h_{1}{\vec {n}}_{1}+h_{2}{\vec {n}}_{2}}$  .

Oni konsideru du kruciĝantajn ebenojn, priskribitajn kiel ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,}$  kaj ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,}$ , la duedra angulo inter ili estas difinita kiel la angulo ${\displaystyle \alpha }$  inter ties normalaj direktoj:

${\displaystyle \cos \alpha ={\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}$ 

• Hiperebeno - analogo de ebeno en diversaj dimensioj
• Kompleksa ebeno
• Hiperbola ebeno
• Projekcia ebeno
• Reela projekcia ebeno
• Kompleksa projekcia ebeno
• Fana ebeno
• Ebena geometrio

• Ebeno, ĉe Mathworld (angle)