5-hiperpluredro

5-hiperpluredro estas fermita kvin-dimensia figuro kun verticoj, lateroj, edroj, kaj ĉeloj kaj 4-hiperĉeloj.

• Vertico estas punkto kie kvin aŭ pli multaj lateroj kuniĝas.
• Latero estas streko kie kvar aŭ pli multaj edroj kuniĝas.
• Edro estas plurlatero kie tri aŭ pli multaj ĉeloj kuniĝas. Edro ludas rolon de kulmino.
• Ĉelo estas pluredro kaj ludas rolon de kresto.
• 4-hiperĉelo estas plurĉelo kaj ludas rolon de faceto.

Plue, jenaj postuloj devas esti kontentigitaj:

• Ĉiu pluredra ĉelo estas komunigita per akurate du plurĉelaj facetoj.
• Najbaraj facetoj estas ne en la sama kvar-dimensia hiperebeno.
• La figuro ne estas kombinaĵo de aliaj figuroj kiuj aparte kontentigas la postulojn.

Regula 5-hiperpluredroj povas esti prezentitaj per la simbolo de Schläfli {p, q, r, s}, kun 4-dimensiaj facetoj {p, q, r} en kvanto s ĉirkaŭ ĉiu edro. Estas akurate tri ĉi tiaj regulaj hiperpluredroj:

• 5-simplaĵo {3, 3, 3, 3}
• 5-hiperkubo {4, 3, 3, 3}
• 5-kruco-hiperpluredro {3, 3, 3, 4}

Ili ĉiuj estas konveksaj. Ne ekzistas ne konveksaj regulaj 5-hiperpluredroj .

La 5-simplaĵo konsistas el 6 facetoj, ĉiu faceto estas 4-hiperĉelo. Tiel 5-simplaĵo povas esti nomata ankaŭ kiel 6-4-hiperĉelo.

La plena aro de konveksaj unuformaj 5-hiperpluredroj ne estas dume sciata, sed la vasta plejparto de regulaj kaj unuformaj 5-hiperpluredroj kun spegula simetrio povas esti generita per ĉi tiuj kvar grupoj de Coxeter, prezentitaj per permutoj de ringoj de la figuroj de Coxeter-Dynkin:

#	Grupo de Coxeter		Figuro de Coxeter-Dynkin
1	A5	[34]
2	B5	[4, 33]
3	D6	[32, 1, 1]

• Simplaĵa familio: A₅ familio: [3, 3, 3, 3] -          
  • 19 unuformaj 5-hiperpluredroj kiel permutoj de ringoj en la grupa figuro, inkluzivante unu regulan:
    • {3, 3, 3, 3} - 5-simplaĵo.
• Hiperkuba / kruco-hiperpluredra B₅ familio: [4, 3, 3, 3] -          
  • 31 unuformaj 5-hiperpluredroj kiel permutoj de ringoj en la grupa figuro, inkluzivante du regulajn:
    • {4, 3, 3, 3} — 5-hiperkubo -          
    • {3, 3, 3, 4} — 5-kruco-hiperpluredro -          
• Duonvertica hiperkuba D₅/E₅ familio: [3^{2, 1, 1}] -        
  • 23 unuformaj 5-hiperpluredroj kiel permutoj de ringoj en la grupa figuro, inkluzivante:
    • {3^{1, 2, 1}}, 1_{2, 1} - 5-duonkubo (E5 hiperpluredro) -        ; ankaŭ kiel h{4, 3, 3, 3},          
    • {3^{2, 1, 1}}, 2_{1, 1} - 5-kruco-hiperpluredro -        
• Prismoj kaj duprismoj:
  • 56 unuformaj 5-hiperpluredroj de prismaj familioj: [3, 3, 3]x[ ], [4, 3, 3]x[ ], [5, 3, 3]x[ ], [3^{1, 1, 1}]x[ ].
  • Malfinie multaj unuformaj 5-hiperpluredroj de duprismaj prismaj familioj: [p]x[q]x[ ].
  • Malfinie multaj unuformaj 5-hiperpluredroj de duprismaj familioj: [3, 3]x[p], [4, 3]x[p], [5, 3]x[p].
  • Unu ne-Wythoff-a - la spacograndigita kontraŭprisma prismo estas la nura sciata ne-Wythoff-a konveksa unuforma 5-hiperpluredro, konstruita de du spacograndigitaj kontraŭprismoj koneksaj per pluredraj prismoj.

La spacograndigita kontraŭprisma prismo havas:

• 200 verticojn,
• 1100 laterojn,
• 1940 edrojn
• : (40 kvinlateroj,
• : 500 kvadratoj,
• : 1400 trianguloj),
• 1360 ĉelojn
• : (300 kvaredroj,
• : 20 kvinlateraj kontraŭprismoj,
• : 700 triangulaj prismoj,
• : 20 kvinlateraj prismoj),
• 322 4-hiperĉelojn
• : (2 spacograndigitaj kontraŭprismoj  ,
• : 20 kvinlateraj kontraŭprismaj prismoj  ,
• : 300 kvaredraj prismoj  ).

Estas 19 formoj bazitaj sur ĉiuj permutoj de la figuroj de Coxeter-Dynkin kun unu aŭ pli multaj ringoj. (2⁵-1 variantoj minus 12 simetriaj okazoj)

La konstruado estas surbaze de regula 5-simplaĵo (6-4-hiperĉelo).

#	Figuro de Coxeter-Dynkin Simbolo de Schläfli Nomo	Kvantoj de facetoj laŭ situo: [3, 3, 3, 3]					Kvantoj de eroj
		4	3	2	1	0
		[3, 3, 3] (6)	[3, 3]×[ ] (15)	[3]×[3] (20)	[ ]×[3, 3] (15)	[3, 3, 3] (6)	4-hiperĉeloj	Ĉeloj	Edroj	Lateroj	Verticoj
1	t0{3, 3, 3, 3} 6-4-hiperĉelo	5-ĉelo {3, 3, 3}	-	-	-	-	6	15	20	15	6
2	t1{3, 3, 3, 3} Rektigita 6-4-hiperĉelo	rektigita 5-ĉelo t1{3, 3, 3}	-	-	-	5-ĉelo {3, 3, 3}	12	45	80	60	15
3	t2{3, 3, 3, 3} Durektigita 6-4-hiperĉelo	rektigita 5-ĉelo t2{3, 3, 3}	-	-	-	rektigita 5-ĉelo t1{3, 3, 3}	12	60	120	90	20
4	t0, 1{3, 3, 3, 3} Senpintigita 6-4-hiperĉelo	senpintigita 5-ĉelo t0, 1{3, 3, 3}	-	-	-	5-ĉelo {3, 3, 3}	12	45	80	75	30
5	t1, 2{3, 3, 3, 3} Dutranĉita 6-4-hiperĉelo	dutranĉita 5-ĉelo t1, 2{3, 3, 3}	-	-	-	senpintigita 5-ĉelo t0, 1{3, 3, 3}	12	60	140	150	60
6	t0, 2{3, 3, 3, 3} Laterotranĉita 6-4-hiperĉelo	laterotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	-	-	kvaredra prismo {}×{3, 3}	rektigita 5-ĉelo t1{3, 3, 3}	27	135	290	240	60
7	t1, 3{3, 3, 3, 3} Dulaterotranĉita 6-4-hiperĉelo	laterotranĉita 5-ĉelo t1, 3{3, 3, 3}	-	duprismo {3}×{3}	-	laterotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	32	180	420	360	90
8	t0, 3{3, 3, 3, 3} Edrotranĉita 6-4-hiperĉelo	edrotranĉita 5-ĉelo t0, 3{3, 3, 3}	-	duprismo {3}×{3}	{}×t1{3, 3}	rektigita 5-ĉelo t1{3, 3, 3}	47	255	420	270	60
9	t0, 4{3, 3, 3, 3} Ĉelotranĉita 6-4-hiperĉelo	5-ĉelo {3, 3, 3}	kvaredra prismo {}×{3, 3}	duprismo {3}×{3}	kvaredra prismo {}×{3, 3}	5-ĉelo {3, 3, 3}	62	180	210	120	30
10	t0, 1, 2{3, 3, 3, 3} Rektigitotranĉita 6-4-hiperĉelo	rektigitotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2{3, 3, 3}	-	-	kvaredra prismo {}×{3, 3}	senpintigita 5-ĉelo t0, 1{3, 3, 3}	27	135	290	300	120
11	t1, 2, 3{3, 3, 3, 3} Durektigitotranĉita 6-4-hiperĉelo	rektigitotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2{3, 3, 3}	-	duprismo {3}×{3}	-	rektigitotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2{3, 3, 3}	32	180	420	450	180
12	t0, 1, 3{3, 3, 3, 3} Edroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 3{3, 3, 3}	-	duprismo {6}×{3}	okedra prismo {}×t1{3, 3}	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	47	315	720	630	180
13	t0, 2, 3{3, 3, 3, 3} Edrolaterotranĉita 6-4-hiperĉelo	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 3{3, 3, 3}	-	duprismo {3}×{3}	senpintigita kvaredra prismo {}×t0, 1{3, 3}	dutranĉita 5-ĉelo t1, 2{3, 3, 3}	47	255	570	540	180
14	t0, 1, 4{3, 3, 3, 3} Ĉeloverticotranĉita 6-4-hiperĉelo	senpintigita 5-ĉelo t0, 1{3, 3, 3}	senpintigita kvaredra prismo {}×t0, 1{3, 3}	duprismo {3}×{6}	kvaredra prismo {}×{3, 3}	edrotranĉita 5-ĉelo t0, 3{3, 3, 3}	62	330	570	420	120
15	t0, 2, 4{3, 3, 3, 3} Ĉelolaterotranĉita 6-4-hiperĉelo	laterotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	kubokedra prismo {}×t0, 2{3, 3}	duprismo {3}×{3}	kubokedra prismo {}×t0, 2{3, 3}	laterotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	62	420	900	720	180
16	t0, 1, 2, 3{3, 3, 3, 3} Edrolateroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo	entutotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}	-	duprismo {3}×{6}	senpintigita kvaredra prismo {}×t0, 1{3, 3}	laterotranĉita 5-ĉelo t0, 2{3, 3, 3}	47	315	810	900	360
17	t0, 1, 2, 4{3, 3, 3, 3} Ĉelolateroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo	rektigitotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2{3, 3, 3}	senpintigita okedra prismo {}×t0, 1, 2{3, 3}	duprismo {3}×{6}	kubokedra prismo {}×t0, 2{3, 3}	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 3{3, 3, 3}	62	480	1140	1080	360
18	t0, 1, 3, 4{3, 3, 3, 3} Ĉeloedroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 3{3, 3, 3}	senpintigita kvaredra prismo {}×t0, 1{3, 3}	duprismo {6}×{6}	senpintigita kvaredra prismo {}×t0, 1, 3{3, 3}	edroverticotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 3{3, 3, 3}	62	450	1110	1080	360
19	t0, 1, 2, 3, 4{3, 3, 3, 3} Entutotranĉita 6-4-hiperĉelo	entutotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}	senpintigita okedra prismo {}×t0, 1, 2{3, 3}	duprismo {6}×{6}	senpintigita okedra prismo {}×t0, 1, 2{3, 3}	entutotranĉita 5-ĉelo t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}	62	540	1560	1800	720

Estas 6 unuformaj prismaj familioj de hiperpluredroj bazita sur unuformaj 4-hiperpluredroj:

#	Grupo de Coxeter		Figuro de Coxeter-Dynkin	Unuformaj hiperpluredroj
1	A4 × A1	[3, 3, 3] × [ ]		9 unuformaj hiperpluredroj bazitaj sur regula 5-ĉelo
2	B4 × A1	[4, 3, 3] × [ ]		15 bazitaj sur regulaj 4-hiperkubo aŭ 16-ĉelo
3	F4 × A1	[3, 4, 3] × [ ]		9 bazitaj sur regula 24-ĉelo
4	H4 × A1	[5, 3, 3] × [ ]		15 bazitaj sur regula 120-ĉelo aŭ 600-ĉelo
5	D4 × A1	[31, 1, 1] × [ ]		8 bazitaj sur duonvertica 4-hiperkubo (16-ĉelo)
6	I2(p) × I2(q) × A1	[p] × [q] × [ ]		Malfinie multaj bazitaj sur la unuformaj duprismoj

Estas 3 unuformaj duprismaj familioj de hiperpluredroj bazitaj sur karteziaj produtoj de la unuformaj pluredroj kaj regulaj plurlateroj: {q, r}×{p}:

#	Grupo de Coxeter		Figuro de Coxeter-Dynkin
1	A3 × I2(p)	[3, 3] × [p]
2	B3 × I2(p)	[4, 3] × [p]
3.	H3 × I2(p)	[5, 3] × [p]

Konstruado per speguloj de la 5-dimensiaj unuformaj hiperpluredroj estas farita per konstruo de Wythoff kaj prezentita per figuro de Coxeter-Dynkin, kie ĉiu vertico prezentas spegulon. Estas ringita verticoj respektivaj kiuj speguloj estas aktiva. La plena aro de unuformaj hiperpluredroj generitaj estas bazita sur la unikaj permutoj de ringitaj verticoj. Iuj familioj havi du regulaj konstruiloj kaj tial povas havi du vojoj de nomantaj ilin. Notu, ke verticoj de figuro de Coxeter-Dynkin estas tute apartaj kaj malsamaj de verticoj de la hiperpluredroj.

Ĉi tio estas listo de la unuecaj operatoroj havebla por konstruanta kaj nomanta la unuformaj 5-hiperpluredroj.

En la listo estas ne ĉiuj eblaj operacioj. La sola donita en la listo kombinita tranĉo estas la entutotranĉo, sed eblas ankaŭ la aliaj kombinitaj tranĉoj.

La lasta operacio, la riproĉigo, kaj pli ĝenerale la alternado, estas la operacio kiu povas krei nememspegulsimetriajn formojn. Ĉi tiuj estas desegnitaj kiel truoj   je la verticoj.

La prismaj formoj kaj forkiĝantaj grafeoj povas uzi la saman indeksan skribmanieron, sed postulas eksplicitan numeradon sistemon sur la verticoj por klareco.

Operacio	Etendita Simbolo de Schläfli	Figuro de Coxeter-Dynkin	Priskribo
Gepatro	t0{p, q, r, s}		Regula 5-hiperpluredro
Rektigo	t1{p, q, r, s}		La lateroj estas plene senpintigitaj en solajn punktojn.
Durektigo	t2{p, q, r, s}		La edroj estas plene senpintigitaj en solajn punktojn.
Tranĉo (senpintigo)	t0, 1{p, q, r, s}		Ĉiu originala vertico estas dehakita kaj anstataŭita per la nova 4-hiperĉelo pleniganta la truon. Tranĉo havas liberecon je profundo, do je amplekso de dehakata parto, kaj estas tiu profundo ke kreiĝas unuforma senpintigita 5-hiperpluredro. Kvantoj de flankoj de ĉiuj la originalaj edroj duobliĝas.
Laterotranĉo	t0, 2{p, q, r, s}		Ĉiu originala latero estas bevelita. Novaj ortangulaj edroj aperas. Ankaŭ verticoj estas dehakitaj, sed ĝis minimuma ebla profundo.
Edrotranĉo	t0, 3{p, q, r, s}
Ĉelotranĉo	t0, 4{p, q, r, s}
Entutotranĉo	t0, 1, 2, 3, 4{p, q, r, s}
Riproĉigo	s{p, q, q, s}		La riproĉigo prenas la entutotranĉitan formo kaj rektigas alternajn verticojn.

5-hiperpluredro povas esti konsiderata kiel kahelaro de 4-sfero (la 4-sfero estas sfero kiu estas 4-dimensia dukto, ĝi povas esti ricevita kiel rando de 5-dimensia pilko en 5-dimensia spaco; kutima sfero ekzistanta en 3-spaco estas 2-sfero). Tiel kahelaro de eŭklida 4-spaco estas simila al 5-hiperpluredro, la diferenco estas en kurbeco de la kahelata spaco.

Estas kvin fundamentaj afinaj grupoj de Coxeter kiuj generas regulajn kaj unuformajn kahelarojn en eŭklida 4-spaco:

#	Grupo de Coxeter		Figuro de Coxeter-Dynkin
1	A~4	p[35]
2	B~4	[4, 3, 3, 4]
3	C~4	h[4, 3, 3, 4] [4, 33, 4]
4	D~4	q[4, 3, 3, 4] [31, 1, 1, 1]
5	F~4	[3, 4, 3, 3]

Estas tri regulaj kahelaroj de eŭklida 4-spaco:

• 4-hiperkuba kahelaro, kun simboloj {4, 3, 3, 4},           =        . Estas 19 unuformaj kahelaroj en ĉi tiu familio.
• 24-ĉela kahelaro, kun simboloj {3, 4, 3, 3},          . Estas 31 unuformaj kahelaroj en ĉi tiu familio.
• 16-ĉela kahelaro, kun simboloj {3, 3, 4, 3},          

Aliaj familioj kiuj generas unuformajn kahelarojn estas:

• Estas 23 unuformaj kahelaroj, 4 unikaj en la 6-duonhiperkuba kahelara familio. Kun simboloj h{4, 3², 4} ĝi estas geometrie identa al la 16-ĉela kahelaro,           =        
• Estas 7 unuformaj kahelaroj de la A^~₄,     familio, ĉiuj unikaj.
• Estas 7 unuformaj kahelaroj en la D^~₄: [3^{1, 1, 1, 1}]      familio, ĉiuj ripetitaj en la aliaj familioj, inkluzivante la 6-duonhiperkuban kahelaron.

Piramida 5-hiperpluredro, aŭ 5-piramido, povas esti generita de plurĉela bazo en 4-dimensia hiperebeno koneksa al punkto for de la hiperebeno. La 5-simplaĵo estas la plej simpla ekzemplo kun 4-simplaĵa bazo.

• Regula hiperpluredro
• Listo de regulaj hiperpluredroj
• Unuforma hiperpluredro
• Plurlatero - 2-hiperpluredro
  • Regula plurlatero
• Pluredro - 3-hiperpluredro
  • Regula pluredro
  • Unuforma pluredro
• Plurĉelo - 4-hiperpluredro
  • Regula plurĉelo
  • Unuforma plurĉelo
• 6-hiperpluredro
• 7-hiperpluredro
• 8-hiperpluredro
• 9-hiperpluredro
• 10-hiperpluredro
• Operacioj je hiperpluredroj kaj kahelaroj:
  • Tranĉo t_{0, 1}{p, ...}
  • Laterotranĉo t_{0, 2}{p, q, ...}
  • Lateroverticotranĉo t_{0, 1, 2}{p, q, ...}
  • Edrotranĉo t_{0, 3}{p, q, r, ...}
  • Edroverticotranĉo t_{0, 1, 3}{p, q, r, ...}
  • Edrolaterotranĉo t_{0, 2, 3}{p, q, r, ...}
  • Edrolateroverticotranĉo t_{0, 1, 2, 3}{p, q, r, ...}
  • Ĉelotranĉo t_{0, 4}{p, q, r, s, ...}
  • Entutotranĉo t_{0, 1, ..., n-1}{p₁, p₂, ..., p_n-1}
  • Rektigo t₁{p, ...}
  • Dutranĉo t_{1, 2}{p, q, ...}
  • Alternado
  • Riproĉigo
• Simbolo de Schläfli - etendita simbolo de Schläfli priskribas rezultojn de la operacioj faritaj je regulaj hiperpluredroj kaj regulaj kahelaroj

• [1] Kalejdoskopoj: elektitaj skribaĵoj de H.S.M. Coxeter, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
• Hiperpluredraj nomoj
• Hiperpluredroj de diversaj dimensioj
• Glosaro por hiperspaco: hiperpluredro
• Plurdimensia glosaro
• Hiperpluredraj nomoj