Translacia simetrio
En fiziko kaj matematiko, mova simetrio, aŭ translacia simetrio, de objekto estas simetrio kiu estas invarianteco de la objekto je iu movo.
En geometrio, translacio de objekto per vektoro a skribiĝas: Ta(p) = p + a.
Ĝi estas kontinua mova simetrio kaj diskreta mova simetrio.
Mova simetrio de objekto signifas, ke ia movo ne ŝanĝas la objekton. Por donita objekto, aro de la movoj, kiuj ĝin ne ŝanĝas estas la geometria simetria grupo de la objekto, aŭ, se la objekto havas ankaŭ la aliajn simetrion, subgrupo de la geometria simetria grupo.
Analoge operatoro A sur funkcio estas move invarianta kun respektivo al mova operatoro Tδ, Tδ f(t) = f(t-δ) se la rezulto post apliko de A ne ŝanĝas se la argumenta funkcio estas movita, do por ĉiuj δ kaj f:
- A f = A (Tδ f) .
Leĝoj de fiziko estas translaciaj invariantoj, se per la spaca movo ili ne distingas malsamajn punktojn en spaco. Laŭ teoremo de Noether, mova simetrio de fizika sistemo estas ekvivalento al la movokvanta konservada leĝo.
Geometrio
[redakti | redakti fonton]Mova simetrio signifas ke la figuro estas malfinia almenaŭ en unu direkto: por ĉiu donita punkto p, la aro de punktoj kun la samaj propraĵoj pro la mova simetrio formas malfinia diskretan aro {p+na|n en Z} = p + Z a. La fundamentaj domajnoj estas H + [0,1] a por ĉiu hiperebeno H ne paralela al a (se ne estas aldonoj simetrioj). Ĉi tio estas en streko en 1 dimensio, malfinia filmo en 2 dimensioj, malfinia tavolo en 3 dimensioj ktp. Notu, ke hiperebeno ne nepre estas perpendikulara al la vektoro, (en la ekzemploj, la filmo aŭ la tavolo ne nepre estas perpendikulara al la vektoro).
En spacoj kun dimensio pli alta ol 1 figuro povas havi samtempe multajn movajn simetriojn. Por ĉiu aro de k sendependaj movaj vektoroj la geometria simetria grupo estas izomorfia kun Zk.
Aparta okazo estas se kvanto de la movaj simetrioj estas egala al la dimensio. Ĉi tio signifas ke la figuro estas malfinia en ĉiuj direktoj. En ĉi tiu okazo la aro de ĉiuj movoj formas kradon. Du malsamaj bazoj de movaj vektoroj generas la sama krado se kaj nur se la unua bazo povas esti konvertita en la alian per matrico kun entjeraj koeficientoj kies la absoluta valoro de la determinanto estas 1. La absoluta valoro de la determinanto de la matrico formita per aro de movaj vektoroj estas la hipervolumeno de la n-dimensia hiperparalelepipedo. Ĉi tiu hiperparalelepipedo estas la fundamenta regiono (fundamenta domajno se ne estas ankaŭ la aliaj simetrioj) de la simetrio: ĉiu ŝablono en ĝi estas ebla, kaj ĉi tiu ŝablono plene difinas la tutan malfinian figuron. (Vidu ankaŭ en krado (grupo)).
En 2 dimensioj, anstataŭ a kaj b oni povas preni ankaŭ na a kaj a-b, kaj tiel plu Ĝenerale en 2 dimensioj, oni povas preni na pa + qb kaj ra + sb por entjeroj p, q, r, s tiaj ke ps-qr estas 1 aŭ -1. Ĉiu paro a, b difinas paralelogramon, ĉiun kun la sama areo. Unu paralelogramo plene difinas la tutan fuguron. Ĉi tiu paralelogramo estas la fundamenta regiono. La vektoroj a kaj b povas esti prezentitaj per kompleksaj nombroj. Por du donitaj kradaj punktoj, ekvivalento de elektoj de tria punkto por generi kradon estas prezentita per la modula grupo.
Alternative, ortangulo povas esti la fundamenta regiono difini la tutan figuron, eĉ se la movaj vektoroj ne estas perpendikularaj, se ĝi havas du laterojn paralelajn al unu vektoro, kaj la alia mova vektoro startanta je unu el ĉi tiuj du lateroj finiĝas je la transa latero.
Ekzemple, konsideru kahelaro de egalaj ortangulaj kaheloj kun malsimetria ŝablono sur ilin, ĉiuj orientitaj la same, kun vicoj de la kaheloj ŝovitaj unu relative al la antaŭa je parto de amplekso de la kahelo. La ortangulo povas estas pli oportuna por konsideri kiel la fundamenta regiono.
Simile, hiperortangulo povas esti elektita kiel la fundamenta regiono en multdimensia okazo.
En 2 dimensioj povas esti kontinua mova simetrio en unu direkto, do, por movaj vektoroj de ĉiu longo. Unu linio, ne paralela al la vektoroj estas do la fundamenta regiono. Simile, en 3 dimensioj povas esti kontinua mova simetrio en unu direkto, do, por movaj vektoroj de ĉiu longo. Unu ebeno, ne paralela al la vektoroj estas do la fundamenta regiono.
Pri mova simetrio kune kun turna simetrio vidu pli detale en turna simetrio.
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]Teksto
[redakti | redakti fonton]Malfinia teksto skribita sur ebeno povas havi diskretan movan simetrion.
Ekzemploj de ĉi tia simetrio en unu direkto:
...FFFFFFFFFFFFFFF... |
... abc abc abc abc abc ... |
...
abc
abc
abc
abc
abc
...
|
Ekzemploj de ĉi tia simetrio en du direktoj:
........... .qqqqqqqqq. .qqqqqqqqq. .qqqqqqqqq. .qqqqqqqqq. ........... |
.......... .afafafaf. .fafafafa. .afafafaf. .fafafafa. .......... |
.............. .asdasdasdasd. .sdasdasdasda. .dasdasdasdas. .asdasdasdasd. .sdasdasdasda. .dasdasdasdas. .............. |
Neniu el la ekzemploj havas aldonajn simetriojn.
En kalkulo
[redakti | redakti fonton]- La konverto de Fourier kun sekva kalkulado de absolutaj valoroj estas move invarianta operatoro.
- La surĵeto de polinoma funkcio al la polinoma grado estas move invarianta funkcionalo.
- La lebega mezuro estas kompleta move invarianta mezuro.