Funkcio φ

Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

En nombroteorio, la eŭlera funkcio φ(n) aŭ eŭlera φ-funkcio de pozitiva entjero n estas difinita kiel nombro de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al n , kiuj estas reciproke primaj kun n. Ekzemple, φ(9)=6 pro tio, ke la ses nombroj 1, 2, 4, 5, 7 kaj 8 estas reciproke primaj kun 9.

La funkcio estas nomita omaĝe al svisa matematikisto Leonhard Euler, kiu studis ĝin.

La eŭlera kuna φ-funkcio de n estas difinita kiel n-φ(n), la kvanto de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al n , kiuj ne estas reciproke primaj kun n.

La φ funkcio estas grava ĉefe, ĉar ĝi donas la amplekson de la multiplika grupo de entjeroj module n. φ(n) estas ordo de grupo de unuoj de ringo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Ĉi tiu fakto, kaj ankaŭ teoremo de Lagrange koncerne al grupa teorio provizas pruvon de la eŭlera teoremo.

φ(1)=1

φ(p^k)=(p-1)p^(k-1) por prima p

φ estas multiplika funkcio, t.e. se m kaj n estas reciproke primaj, tiam φ(mn) = φ(m)φ(n).

La valoro de φ(n) povas tial esti komputita per la fundamenta teoremo de aritmetiko: se

${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$ ,

kie p_j estas diversaj primoj, do

${\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}.}$

Ĉi tiu la lasta formulo estas la eŭlera produto kaj estas ofte skribata kiel

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

kun la produto ruliganta nur tra diversaj primoj p dividantaj na n.

Ekzemplo:

${\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12.}$

La diversaj primaj faktoroj de 36 estas 2 kaj 3; duono de entjeroj inter 1 kaj 36 estas dividebla per 2, restas 18; triono de tiuj estas dividebla per 3, restas 12 reciproke primaj kun 36. Ili estas 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35.

Valoroj de la funkcio φ por ${\displaystyle 1\leq \varphi (n)\leq 99}$:

φ(n)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Per inversiga formulo de Möbius eblas inversigi la sumon kaj ricevi la alian formulon por φ(n):

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}$ ,

kie μ estas la kutima funkcio de Möbius difinita sur la pozitivaj entjeroj.

Laŭ eŭlera teoremo, se a estas reciproke prima kun n (alivorte PGKD(a,n)=1), do

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}$

Ĉi tio sekvas de teoremo de Lagrange kaj tio, ke a apartenas al la multiplika grupo de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ , se kaj nur se a estas reciproke prima kun n.

La du sekvaj generantaj funkcioj aperas pro tio, ke

${\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n.}$

Serio de Dirichlet kun φ(n) estas

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$ ,

kie ζ(s) estas la rimana ζ funkcio. Ĉi tio estas montrata sekve:

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}$

${\displaystyle \left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1*\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}$

${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}$

La serio de Lambert estas

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$ ,

kiu konverĝas por |q|<1.

Ĉi tiu sekvas de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}$ ,

kio estas

${\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

La kreskado de φ(n) kiel funkcio de n estas interesa demando. Por malgrandaj n φ(n) estas signife pli malgranda ol n, Sed por grandaj n ĉi tio ne veras. Asimptote estas

${\displaystyle n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}$

por ĉiu donita ε > 0 kaj n > N(ε).

Se konsideri funkcion φ(n)/n do de la formulo pli supre

${\displaystyle \varphi (n)/n=prod_{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

kun la produto ruliganta nur tra diversaj primoj p dividantaj na n.

Pro tio la valoroj de n respektivaj al malgrandaj valoroj de la rilatumo estas tiuj, kiuj estas produtoj de komenca segmento de vico de ĉiuj primoj. De la prima teoremo ĝi povas esti montrite, ke konstanto ε en la formulo pli supre povas pro tio esti anstataŭigita per

${\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}$

φ(n) estas ĝenerale proksime al n en averaĝa senco:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$ ,

kie O estas la granda O. Ĉi tiu ankaŭ diras, ke la probablo, ke du pozitiva entjeroj elektitaj hazarde de {1, 2, ..., n} estas reciproke primaj, estas proksimume ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ , kiam n strebas al malfinio. Rilatanta rezulto estas la averaĝa ordo de φ(n)/n , kiu estas

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n){\text{ por }}m\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}$

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ por }}n>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}$

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+{\mathcal {O}}\left(2^{\omega (m)}\right)}$ ,

kie m > 1 estas pozitiva entjero, kaj ω(m) estas kvanto de diversaj primaj faktoroj de m. (Ĉi tiuj formulaj kalkulas la nombron de pozitivaj entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al n kaj reciproke primaj kun m.)

Iuj neegalaĵoj kun la φ(n) estas:

${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}$

por n>2, kie γ estas eŭlera konstanto,

${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}$ por n > 0,

kaj

${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}{\text{ por }}n>6.}$

Por primo n, φ(n)=n-1. Por komponita n:

${\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}$

Por ĉiu n > 1:

${\displaystyle 0<{\frac {\varphi (n)}{n}}<1}$

Por hazarda granda n, ĉi tiuj baroj ankoraŭ ne povas esti plibonigitaj, aŭ pli precize:

${\displaystyle \liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0{\mbox{ and }}\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.}$

Neegalaĵoj kun la φ(n) kaj la dividanta funkcio σ:

${\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ por }}n>1}$

• Nombro, kiu ne estas valoro de eŭlera funkcio φ
• Nombro, kiu ne estas valoro de eŭlera kuna funkcio φ
• Nombro, kiu multfoje estas valoro de eŭlera funkcio φ
• Nombro, kiu multfoje estas valoro de eŭlera kuna funkcio φ
• Dividanta funkcio
• Funkcio de Carmichael

• Derivita logaritma funkcio de eŭlera funkcio Arkivigite je 2010-07-14 per la retarkivo Wayback Machine Miyata, Daisuke kaj Yamashita, Michinori
• [1] Arkivigite je 2007-12-21 per la retarkivo Wayback Machine Nombro reciproke prima kun q en [1, n] de Olivier Bordellès
• [2]^{[rompita ligilo]} Kalkulo de ø(n) por nombroj supren ĝis 2³¹
• Komputo de φ funkcio de Kirby Urner (2003)