Bildaro

En matematiko, la bildo aŭ bildaro^[1] de funkcio (aŭ, pli ĝenerale, duvalenta rilato) estas la aro de la valoroj de ĉiuj elementoj el la argumentaro de la funkcio — alivorte, la aro de bildoj de ĉiuj elementoj de la fonta aro, sur kiuj la funkcio estas difinita.

La bildaro estas ĉiam subaro de la cela aro de la funkcio simile al tio, ke ĝia argumentaro estas subaro de ĝia fonta aro.

Pli ĝenerale, por funkcio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ la bildo de elemento ${\displaystyle x}$ el la argumentaro de ${\displaystyle f}$ estas la valoro ${\displaystyle f(x)\in Y}$ de la funkcio por tiu elemento.

La bildo de subaro ${\displaystyle A\subseteq X}$ de la fonta aro ${\displaystyle X}$ estas la aro de bildoj de la elementoj el ${\displaystyle A}$, por kiuj la funkcio estas difinita.

Konsideru funkcion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, kies fonta aro estas aro ${\displaystyle X}$ kaj kies cela aro estas aro ${\displaystyle Y}$.

La bildo de elemento de la argumentaro) ${\displaystyle x\in X}$ per la funkcio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ estas la elemento ${\displaystyle f(x)\in Y}$ de la cela aro, al kiu la funkcio ${\displaystyle f}$ ĵetas elementon ${\displaystyle x}$.

La bildo de subaro ${\displaystyle A\subseteq X}$ de la fonta aro ${\displaystyle X}$ per la funkcio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ estas la aro de ĉiuj bildoj de elementoj de ĉi tiu subaro:

${\displaystyle f[A]=\{y\in Y\colon \exists _{a\in A}\ f(a)=y\}}$.

Alivorte, la bildo de aro per funkcio estas la aro de ĉiuj eblaj valoroj, kiujn la funkcio povas havi por argumentoj el la elektita aro.

La bildaro (aŭ simple bildo) de la finkcio ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ estas la aro de ĉiuj bildoj, aŭ alivorte la bildo de la tuta fonta aro ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle f[X]=\{y\in Y\colon \exists _{x\in X}f(x)=y\}}$.

La bildo de funkcio estas ĉiam subaro de ĝia cela aro. Funkcio, kies cela aro egalas la bildaron, nomiĝas surĵeta.

La simbola notacio por bildo de aro ${\displaystyle A}$ estas ${\displaystyle f[A]}$ aŭ pli ofte ${\displaystyle f(A)}$. Tamen la dua formo povas misgvide sugesti, ke la subaro A estas argumento de la funkcio ${\displaystyle f}$.

Kalkuladoj de la bildo de aro konserviĝas ne sub ĉiuj operacioj sur aroj. Se ${\displaystyle A,B\subset X}$, kaj ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ estas familio de aroj indeksita per ${\displaystyle I}$, tiam:

• ${\displaystyle f\left[\bigcup _{i\in I}A_{i}\right]=\bigcup _{i\in I}f[A_{i}]}$
• ${\displaystyle f\left[\bigcap _{i\in I}A_{i}\right]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]}$

El superaj ecoj rezultas rekte subaj:

• ${\displaystyle f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]}$ (egaleco por enĵeto)
• ${\displaystyle f[A\cup B]=f[A]\cup f[B]}$
• ${\displaystyle f[A]\setminus f[B]\subseteq f[A\setminus B]}$